Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3812 / 2587
↖ ↑ ↗
← N 55.103516°
W 12.480469°		 ← 2 795.54 m → N 55.103516°
W 12.436523°		 →
↑
2 796.42 m
↓
↑
2 796.42 m
↓
N 55.078367°
W 12.480469°		 ← 2 797.30 m →
7 819 975 m²		 N 55.078367°
W 12.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46539306640625 y=0.31585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46539306640625 × 213)
    floor (0.46539306640625 × 8192)
    floor (3812.5)     		tx = 3812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31585693359375 × 213)
    floor (0.31585693359375 × 8192)
    floor (2587.5)     		ty = 2587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3812 / 2587 ti = "13/3812/2587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3812/2587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3812 ÷ 213
    3812 ÷ 8192     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2587 ÷ 213
    2587 ÷ 8192     		y = 0.3157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3157958984375 × 2 - 1) × π
    0.368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15738850442664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15738850442664))-π/2
    2×atan(3.18161364755112)-π/2
    2×1.26626705570699-π/2
    2.53253411141398-1.57079632675     		φ = 0.96173778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96173778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.103516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3812 KachelY 2587 -0.21782527 0.96173778 -12.480469 55.103516
    Oben rechts KachelX + 1 3813 KachelY 2587 -0.21705828 0.96173778 -12.436523 55.103516
    Unten links KachelX 3812 KachelY + 1 2588 -0.21782527 0.96129885 -12.480469 55.078367
    Unten rechts KachelX + 1 3813 KachelY + 1 2588 -0.21705828 0.96129885 -12.436523 55.078367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96173778-0.96129885) × R
    0.000438929999999949 × 6371000     		dl = 2796.42302999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96173778-0.96129885) × R
    0.000438929999999949 × 6371000     		dr = 2796.42302999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21705828) × cos(0.96173778) × R
    0.000766989999999995 × 0.572095546085041 × 6371000     		do = 2795.54104718342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21705828) × cos(0.96129885) × R
    0.000766989999999995 × 0.572455495635847 × 6371000     		du = 2797.29993824817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96173778)-sin(0.96129885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572095546085041-0.572455495635847)×R²
    abs(-0.21705828--0.21782527)×0.000359949550805871×R²
    0.000766989999999995×0.000359949550805871×6371000²
    0.000766989999999995×0.000359949550805871×40589641000000     		ar = 7819974.79294157m²