Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3812 / 2032
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
W 12.480469°		 ← 1 925.63 m → N 66.791909°
W 12.436523°		 →
↑
1 926.27 m
↓
↑
1 926.27 m
↓
N 66.774586°
W 12.480469°		 ← 1 926.99 m →
3 710 592 m²		 N 66.774586°
W 12.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46539306640625 y=0.24810791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46539306640625 × 213)
    floor (0.46539306640625 × 8192)
    floor (3812.5)     		tx = 3812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24810791015625 × 213)
    floor (0.24810791015625 × 8192)
    floor (2032.5)     		ty = 2032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3812 / 2032 ti = "13/3812/2032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3812/2032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3812 ÷ 213
    3812 ÷ 8192     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2032 ÷ 213
    2032 ÷ 8192     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3812 KachelY 2032 -0.21782527 1.16573873 -12.480469 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 3813 KachelY 2032 -0.21705828 1.16573873 -12.436523 66.791909
    Unten links KachelX 3812 KachelY + 1 2033 -0.21782527 1.16543638 -12.480469 66.774586
    Unten rechts KachelX + 1 3813 KachelY + 1 2033 -0.21705828 1.16543638 -12.436523 66.774586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16543638) × R
    0.000302349999999896 × 6371000     		dl = 1926.27184999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16543638) × R
    0.000302349999999896 × 6371000     		dr = 1926.27184999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21705828) × cos(1.16573873) × R
    0.000766989999999995 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 1925.62870350878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21705828) × cos(1.16543638) × R
    0.000766989999999995 × 0.394349562800809 × 6371000     		du = 1926.98649254058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16543638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.394349562800809)×R²
    abs(-0.21705828--0.21782527)×0.000277865731356575×R²
    0.000766989999999995×0.000277865731356575×6371000²
    0.000766989999999995×0.000277865731356575×40589641000000     		ar = 3710592.12878403m²