Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38119 / 29209
↖ ↑ ↗
← N 19.181490°
E 29.393921°		 ← 576.88 m → N 19.181490°
E 29.399414°		 →
↑
576.89 m
↓
↑
576.89 m
↓
N 19.176302°
E 29.393921°		 ← 576.90 m →
332 803 m²		 N 19.176302°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581657409667969 y=0.445701599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581657409667969 × 216)
    floor (0.581657409667969 × 65536)
    floor (38119.5)     		tx = 38119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445701599121094 × 216)
    floor (0.445701599121094 × 65536)
    floor (29209.5)     		ty = 29209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38119 / 29209 ti = "16/38119/29209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38119/29209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38119 ÷ 216
    38119 ÷ 65536     		x = 0.581649780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29209 ÷ 216
    29209 ÷ 65536     		y = 0.445693969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581649780273438 × 2 - 1) × π
    0.163299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51302070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445693969726562 × 2 - 1) × π
    0.108612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.34121485149556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51302070} λ = 0.51302070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34121485149556))-π/2
    2×atan(1.40665543042103)-π/2
    2×0.952788237714146-π/2
    1.90557647542829-1.57079632675     		φ = 0.33478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51302070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.181490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38119 KachelY 29209 0.51302070 0.33478015 29.393921 19.181490
    Oben rechts KachelX + 1 38120 KachelY 29209 0.51311657 0.33478015 29.399414 19.181490
    Unten links KachelX 38119 KachelY + 1 29210 0.51302070 0.33468960 29.393921 19.176302
    Unten rechts KachelX + 1 38120 KachelY + 1 29210 0.51311657 0.33468960 29.399414 19.176302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33478015-0.33468960) × R
    9.05500000000226e-05 × 6371000     		dl = 576.894050000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33478015-0.33468960) × R
    9.05500000000226e-05 × 6371000     		dr = 576.894050000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51302070-0.51311657) × cos(0.33478015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944482566710483 × 6371000     		do = 576.87840072496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51302070-0.51311657) × cos(0.33468960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944512314085236 × 6371000     		du = 576.896570057648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33478015)-sin(0.33468960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944482566710483-0.944512314085236)×R²
    abs(0.51311657-0.51302070)×2.97473747526977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97473747526977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97473747526977e-05×40589641000000     		ar = 332802.958069052m²