Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38118 / 29954
↖ ↑ ↗
← N 15.273587°
E 29.388428°		 ← 589.21 m → N 15.273587°
E 29.393921°		 →
↑
589.25 m
↓
↑
589.25 m
↓
N 15.268288°
E 29.388428°		 ← 589.23 m →
347 201 m²		 N 15.268288°
E 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581642150878906 y=0.457069396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581642150878906 × 216)
    floor (0.581642150878906 × 65536)
    floor (38118.5)     		tx = 38118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457069396972656 × 216)
    floor (0.457069396972656 × 65536)
    floor (29954.5)     		ty = 29954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38118 / 29954 ti = "16/38118/29954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38118/29954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38118 ÷ 216
    38118 ÷ 65536     		x = 0.581634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29954 ÷ 216
    29954 ÷ 65536     		y = 0.457061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    0.16326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51292483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457061767578125 × 2 - 1) × π
    0.08587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269788871061676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51292483} λ = 0.51292483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269788871061676))-π/2
    2×atan(1.30968790852358)-π/2
    2×0.918685355155657-π/2
    1.83737071031131-1.57079632675     		φ = 0.26657438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51292483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.388428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26657438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.273587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38118 KachelY 29954 0.51292483 0.26657438 29.388428 15.273587
    Oben rechts KachelX + 1 38119 KachelY 29954 0.51302070 0.26657438 29.393921 15.273587
    Unten links KachelX 38118 KachelY + 1 29955 0.51292483 0.26648189 29.388428 15.268288
    Unten rechts KachelX + 1 38119 KachelY + 1 29955 0.51302070 0.26648189 29.393921 15.268288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26657438-0.26648189) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dl = 589.253790000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26657438-0.26648189) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dr = 589.253790000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51292483-0.51302070) × cos(0.26657438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964678960264267 × 6371000     		do = 589.214110905718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51292483-0.51302070) × cos(0.26648189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964703320627611 × 6371000     		du = 589.22898991772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26657438)-sin(0.26648189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964678960264267-0.964703320627611)×R²
    abs(0.51302070-0.51292483)×2.43603633433009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43603633433009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43603633433009e-05×40589641000000     		ar = 347201.031977471m²