Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38117 / 29971
↖ ↑ ↗
← N 15.183482°
E 29.382934°		 ← 589.53 m → N 15.183482°
E 29.388428°		 →
↑
589.51 m
↓
↑
589.51 m
↓
N 15.178181°
E 29.382934°		 ← 589.54 m →
347 536 m²		 N 15.178181°
E 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581626892089844 y=0.457328796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581626892089844 × 216)
    floor (0.581626892089844 × 65536)
    floor (38117.5)     		tx = 38117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457328796386719 × 216)
    floor (0.457328796386719 × 65536)
    floor (29971.5)     		ty = 29971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38117 / 29971 ti = "16/38117/29971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38117/29971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38117 ÷ 216
    38117 ÷ 65536     		x = 0.581619262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29971 ÷ 216
    29971 ÷ 65536     		y = 0.457321166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581619262695312 × 2 - 1) × π
    0.163238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51282895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457321166992188 × 2 - 1) × π
    0.085357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.268159016474594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51282895} λ = 0.51282895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268159016474594))-π/2
    2×atan(1.30755504627803)-π/2
    2×0.917899043476839-π/2
    1.83579808695368-1.57079632675     		φ = 0.26500176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51282895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.382934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26500176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.183482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38117 KachelY 29971 0.51282895 0.26500176 29.382934 15.183482
    Oben rechts KachelX + 1 38118 KachelY 29971 0.51292483 0.26500176 29.388428 15.183482
    Unten links KachelX 38117 KachelY + 1 29972 0.51282895 0.26490923 29.382934 15.178181
    Unten rechts KachelX + 1 38118 KachelY + 1 29972 0.51292483 0.26490923 29.388428 15.178181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26500176-0.26490923) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dl = 589.50862999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26500176-0.26490923) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dr = 589.50862999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51282895-0.51292483) × cos(0.26500176) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965092039919524 × 6371000     		do = 589.527900921356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51282895-0.51292483) × cos(0.26490923) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965116270409776 × 6371000     		du = 589.542702152188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26500176)-sin(0.26490923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965092039919524-0.965116270409776)×R²
    abs(0.51292483-0.51282895)×2.42304902523527e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.42304902523527e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.42304902523527e-05×40589641000000     		ar = 347536.14819343m²