Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38117 / 29949
↖ ↑ ↗
← N 15.300081°
E 29.382934°		 ← 589.20 m → N 15.300081°
E 29.388428°		 →
↑
589.19 m
↓
↑
589.19 m
↓
N 15.294782°
E 29.382934°		 ← 589.22 m →
347 156 m²		 N 15.294782°
E 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581626892089844 y=0.456993103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581626892089844 × 216)
    floor (0.581626892089844 × 65536)
    floor (38117.5)     		tx = 38117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456993103027344 × 216)
    floor (0.456993103027344 × 65536)
    floor (29949.5)     		ty = 29949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38117 / 29949 ti = "16/38117/29949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38117/29949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38117 ÷ 216
    38117 ÷ 65536     		x = 0.581619262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29949 ÷ 216
    29949 ÷ 65536     		y = 0.456985473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581619262695312 × 2 - 1) × π
    0.163238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51282895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456985473632812 × 2 - 1) × π
    0.086029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.270268240057877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51282895} λ = 0.51282895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270268240057877))-π/2
    2×atan(1.3103158828053)-π/2
    2×0.918916559141157-π/2
    1.83783311828231-1.57079632675     		φ = 0.26703679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51282895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.382934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26703679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.300081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38117 KachelY 29949 0.51282895 0.26703679 29.382934 15.300081
    Oben rechts KachelX + 1 38118 KachelY 29949 0.51292483 0.26703679 29.388428 15.300081
    Unten links KachelX 38117 KachelY + 1 29950 0.51282895 0.26694431 29.382934 15.294782
    Unten rechts KachelX + 1 38118 KachelY + 1 29950 0.51292483 0.26694431 29.388428 15.294782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26703679-0.26694431) × R
    9.24800000000059e-05 × 6371000     		dl = 589.190080000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26703679-0.26694431) × R
    9.24800000000059e-05 × 6371000     		dr = 589.190080000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51282895-0.51292483) × cos(0.26703679) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.964557045222952 × 6371000     		do = 589.201098619163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51282895-0.51292483) × cos(0.26694431) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.964581444204038 × 6371000     		du = 589.21600277287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26703679)-sin(0.26694431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964557045222952-0.964581444204038)×R²
    abs(0.51292483-0.51282895)×2.43989810863043e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.43989810863043e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.43989810863043e-05×40589641000000     		ar = 347155.833368702m²