Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38116 / 29964
↖ ↑ ↗
← N 15.220589°
E 29.377442°		 ← 589.36 m → N 15.220589°
E 29.382934°		 →
↑
589.38 m
↓
↑
589.38 m
↓
N 15.215288°
E 29.377442°		 ← 589.38 m →
347 364 m²		 N 15.215288°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581611633300781 y=0.457221984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581611633300781 × 216)
    floor (0.581611633300781 × 65536)
    floor (38116.5)     		tx = 38116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457221984863281 × 216)
    floor (0.457221984863281 × 65536)
    floor (29964.5)     		ty = 29964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38116 / 29964 ti = "16/38116/29964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38116/29964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38116 ÷ 216
    38116 ÷ 65536     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29964 ÷ 216
    29964 ÷ 65536     		y = 0.45721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    0.0855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.268830133069275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268830133069275))-π/2
    2×atan(1.30843286269368)-π/2
    2×0.918222859636008-π/2
    1.83644571927202-1.57079632675     		φ = 0.26564939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26564939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.220589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38116 KachelY 29964 0.51273308 0.26564939 29.377442 15.220589
    Oben rechts KachelX + 1 38117 KachelY 29964 0.51282895 0.26564939 29.382934 15.220589
    Unten links KachelX 38116 KachelY + 1 29965 0.51273308 0.26555688 29.377442 15.215288
    Unten rechts KachelX + 1 38117 KachelY + 1 29965 0.51282895 0.26555688 29.382934 15.215288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26564939-0.26555688) × R
    9.25099999999901e-05 × 6371000     		dl = 589.381209999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26564939-0.26555688) × R
    9.25099999999901e-05 × 6371000     		dr = 589.381209999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51282895) × cos(0.26564939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964922216140337 × 6371000     		do = 589.362688619801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51282895) × cos(0.26555688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964946499210634 × 6371000     		du = 589.377520422157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26564939)-sin(0.26555688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964922216140337-0.964946499210634)×R²
    abs(0.51282895-0.51273308)×2.42830702970043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42830702970043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42830702970043e-05×40589641000000     		ar = 347363.665588094m²