Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38115 / 29955
↖ ↑ ↗
← N 15.268288°
E 29.371948°		 ← 589.29 m → N 15.268288°
E 29.377442°		 →
↑
589.25 m
↓
↑
589.25 m
↓
N 15.262988°
E 29.371948°		 ← 589.31 m →
347 246 m²		 N 15.262988°
E 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581596374511719 y=0.457084655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581596374511719 × 216)
    floor (0.581596374511719 × 65536)
    floor (38115.5)     		tx = 38115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457084655761719 × 216)
    floor (0.457084655761719 × 65536)
    floor (29955.5)     		ty = 29955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38115 / 29955 ti = "16/38115/29955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38115/29955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38115 ÷ 216
    38115 ÷ 65536     		x = 0.581588745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29955 ÷ 216
    29955 ÷ 65536     		y = 0.457077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581588745117188 × 2 - 1) × π
    0.163177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51263720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457077026367188 × 2 - 1) × π
    0.085845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.269692997262436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51263720} λ = 0.51263720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269692997262436))-π/2
    2×atan(1.30956234978696)-π/2
    2×0.918639110853316-π/2
    1.83727822170663-1.57079632675     		φ = 0.26648189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51263720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.371948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26648189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.268288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38115 KachelY 29955 0.51263720 0.26648189 29.371948 15.268288
    Oben rechts KachelX + 1 38116 KachelY 29955 0.51273308 0.26648189 29.377442 15.268288
    Unten links KachelX 38115 KachelY + 1 29956 0.51263720 0.26638940 29.371948 15.262988
    Unten rechts KachelX + 1 38116 KachelY + 1 29956 0.51273308 0.26638940 29.377442 15.262988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26648189-0.26638940) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dl = 589.253790000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26648189-0.26638940) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dr = 589.253790000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51263720-0.51273308) × cos(0.26648189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964703320627611 × 6371000     		do = 589.290451165904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51263720-0.51273308) × cos(0.26638940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964727672738496 × 6371000     		du = 589.305326688879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26648189)-sin(0.26638940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964703320627611-0.964727672738496)×R²
    abs(0.51273308-0.51263720)×2.43521108850286e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43521108850286e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43521108850286e-05×40589641000000     		ar = 347246.014736895m²