Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38114 / 29666
↖ ↑ ↗
← N 16.794024°
E 29.366455°		 ← 584.74 m → N 16.794024°
E 29.371948°		 →
↑
584.79 m
↓
↑
584.79 m
↓
N 16.788765°
E 29.366455°		 ← 584.75 m →
341 956 m²		 N 16.788765°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581581115722656 y=0.452674865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581581115722656 × 216)
    floor (0.581581115722656 × 65536)
    floor (38114.5)     		tx = 38114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452674865722656 × 216)
    floor (0.452674865722656 × 65536)
    floor (29666.5)     		ty = 29666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38114 / 29666 ti = "16/38114/29666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38114/29666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38114 ÷ 216
    38114 ÷ 65536     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29666 ÷ 216
    29666 ÷ 65536     		y = 0.452667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    0.09466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.297400525242828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297400525242828))-π/2
    2×atan(1.34635444041029)-π/2
    2×0.931953666723895-π/2
    1.86390733344779-1.57079632675     		φ = 0.29311101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29311101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.794024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38114 KachelY 29666 0.51254133 0.29311101 29.366455 16.794024
    Oben rechts KachelX + 1 38115 KachelY 29666 0.51263720 0.29311101 29.371948 16.794024
    Unten links KachelX 38114 KachelY + 1 29667 0.51254133 0.29301922 29.366455 16.788765
    Unten rechts KachelX + 1 38115 KachelY + 1 29667 0.51263720 0.29301922 29.371948 16.788765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29311101-0.29301922) × R
    9.17899999999805e-05 × 6371000     		dl = 584.794089999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29311101-0.29301922) × R
    9.17899999999805e-05 × 6371000     		dr = 584.794089999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(0.29311101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957349639593872 × 6371000     		do = 584.737451477832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(0.29301922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957376156623836 × 6371000     		du = 584.753647755431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29311101)-sin(0.29301922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957349639593872-0.957376156623836)×R²
    abs(0.51263720-0.51254133)×2.65170299634798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65170299634798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65170299634798e-05×40589641000000     		ar = 341955.741809564m²