Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38114 / 29662
↖ ↑ ↗
← N 16.815058°
E 29.366455°		 ← 584.67 m → N 16.815058°
E 29.371948°		 →
↑
584.73 m
↓
↑
584.73 m
↓
N 16.809800°
E 29.366455°		 ← 584.69 m →
341 881 m²		 N 16.809800°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581581115722656 y=0.452613830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581581115722656 × 216)
    floor (0.581581115722656 × 65536)
    floor (38114.5)     		tx = 38114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452613830566406 × 216)
    floor (0.452613830566406 × 65536)
    floor (29662.5)     		ty = 29662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38114 / 29662 ti = "16/38114/29662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38114/29662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38114 ÷ 216
    38114 ÷ 65536     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29662 ÷ 216
    29662 ÷ 65536     		y = 0.452606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452606201171875 × 2 - 1) × π
    0.09478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.297784020439789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297784020439789))-π/2
    2×atan(1.34687085988746)-π/2
    2×0.932137226044512-π/2
    1.86427445208902-1.57079632675     		φ = 0.29347813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29347813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.815058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38114 KachelY 29662 0.51254133 0.29347813 29.366455 16.815058
    Oben rechts KachelX + 1 38115 KachelY 29662 0.51263720 0.29347813 29.371948 16.815058
    Unten links KachelX 38114 KachelY + 1 29663 0.51254133 0.29338635 29.366455 16.809800
    Unten rechts KachelX + 1 38115 KachelY + 1 29663 0.51263720 0.29338635 29.371948 16.809800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29347813-0.29338635) × R
    9.17799999999858e-05 × 6371000     		dl = 584.730379999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29347813-0.29338635) × R
    9.17799999999858e-05 × 6371000     		dr = 584.730379999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(0.29347813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957243502387014 × 6371000     		do = 584.672624169941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(0.29338635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957270048784397 × 6371000     		du = 584.6888383848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29347813)-sin(0.29338635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957243502387014-0.957270048784397)×R²
    abs(0.51263720-0.51254133)×2.6546397382643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6546397382643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6546397382643e-05×40589641000000     		ar = 341880.586418493m²