Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38110 / 29990
↖ ↑ ↗
← N 15.082732°
E 29.344483°		 ← 589.75 m → N 15.082732°
E 29.349976°		 →
↑
589.76 m
↓
↑
589.76 m
↓
N 15.077428°
E 29.344483°		 ← 589.76 m →
347 815 m²		 N 15.077428°
E 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581520080566406 y=0.457618713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581520080566406 × 216)
    floor (0.581520080566406 × 65536)
    floor (38110.5)     		tx = 38110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457618713378906 × 216)
    floor (0.457618713378906 × 65536)
    floor (29990.5)     		ty = 29990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38110 / 29990 ti = "16/38110/29990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38110/29990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38110 ÷ 216
    38110 ÷ 65536     		x = 0.581512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29990 ÷ 216
    29990 ÷ 65536     		y = 0.457611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581512451171875 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51215784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457611083984375 × 2 - 1) × π
    0.08477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.266337414289032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51215784} λ = 0.51215784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266337414289032))-π/2
    2×atan(1.30517536921848)-π/2
    2×0.917019827325948-π/2
    1.8340396546519-1.57079632675     		φ = 0.26324333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51215784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.344483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26324333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.082732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38110 KachelY 29990 0.51215784 0.26324333 29.344483 15.082732
    Oben rechts KachelX + 1 38111 KachelY 29990 0.51225371 0.26324333 29.349976 15.082732
    Unten links KachelX 38110 KachelY + 1 29991 0.51215784 0.26315076 29.344483 15.077428
    Unten rechts KachelX + 1 38111 KachelY + 1 29991 0.51225371 0.26315076 29.349976 15.077428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26324333-0.26315076) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dl = 589.763470000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26324333-0.26315076) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dr = 589.763470000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51215784-0.51225371) × cos(0.26324333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965551099714761 × 6371000     		do = 589.746803015814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51215784-0.51225371) × cos(0.26315076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965575183542888 × 6371000     		du = 589.761513123488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26324333)-sin(0.26315076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965551099714761-0.965575183542888)×R²
    abs(0.51225371-0.51215784)×2.40838281266864e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.40838281266864e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.40838281266864e-05×40589641000000     		ar = 347815.458958502m²