Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38106 / 29277
↖ ↑ ↗
← N 18.828316°
E 29.322510°		 ← 578.10 m → N 18.828316°
E 29.328003°		 →
↑
578.10 m
↓
↑
578.10 m
↓
N 18.823117°
E 29.322510°		 ← 578.12 m →
334 210 m²		 N 18.823117°
E 29.328003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581459045410156 y=0.446739196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581459045410156 × 216)
    floor (0.581459045410156 × 65536)
    floor (38106.5)     		tx = 38106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446739196777344 × 216)
    floor (0.446739196777344 × 65536)
    floor (29277.5)     		ty = 29277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38106 / 29277 ti = "16/38106/29277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38106/29277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38106 ÷ 216
    38106 ÷ 65536     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29277 ÷ 216
    29277 ÷ 65536     		y = 0.446731567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446731567382812 × 2 - 1) × π
    0.106536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.334695433147232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334695433147232))-π/2
    2×atan(1.39751468374955)-π/2
    2×0.949706219001095-π/2
    1.89941243800219-1.57079632675     		φ = 0.32861611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32861611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.828316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38106 KachelY 29277 0.51177434 0.32861611 29.322510 18.828316
    Oben rechts KachelX + 1 38107 KachelY 29277 0.51187021 0.32861611 29.328003 18.828316
    Unten links KachelX 38106 KachelY + 1 29278 0.51177434 0.32852537 29.322510 18.823117
    Unten rechts KachelX + 1 38107 KachelY + 1 29278 0.51187021 0.32852537 29.328003 18.823117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32861611-0.32852537) × R
    9.07400000000336e-05 × 6371000     		dl = 578.104540000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32861611-0.32852537) × R
    9.07400000000336e-05 × 6371000     		dr = 578.104540000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51187021) × cos(0.32861611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946489877384737 × 6371000     		do = 578.104441535384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51187021) × cos(0.32852537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946519158325905 × 6371000     		du = 578.122325976144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32861611)-sin(0.32852537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946489877384737-0.946519158325905)×R²
    abs(0.51187021-0.51177434)×2.92809411684969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92809411684969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92809411684969e-05×40589641000000     		ar = 334209.972013294m²