Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38106 / 29274
↖ ↑ ↗
← N 18.843913°
E 29.322510°		 ← 578.05 m → N 18.843913°
E 29.328003°		 →
↑
578.10 m
↓
↑
578.10 m
↓
N 18.838714°
E 29.322510°		 ← 578.07 m →
334 179 m²		 N 18.838714°
E 29.328003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581459045410156 y=0.446693420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581459045410156 × 216)
    floor (0.581459045410156 × 65536)
    floor (38106.5)     		tx = 38106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446693420410156 × 216)
    floor (0.446693420410156 × 65536)
    floor (29274.5)     		ty = 29274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38106 / 29274 ti = "16/38106/29274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38106/29274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38106 ÷ 216
    38106 ÷ 65536     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29274 ÷ 216
    29274 ÷ 65536     		y = 0.446685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    0.10662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.334983054544952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334983054544952))-π/2
    2×atan(1.39791669668722)-π/2
    2×0.949842328052825-π/2
    1.89968465610565-1.57079632675     		φ = 0.32888833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32888833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.843913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38106 KachelY 29274 0.51177434 0.32888833 29.322510 18.843913
    Oben rechts KachelX + 1 38107 KachelY 29274 0.51187021 0.32888833 29.328003 18.843913
    Unten links KachelX 38106 KachelY + 1 29275 0.51177434 0.32879759 29.322510 18.838714
    Unten rechts KachelX + 1 38107 KachelY + 1 29275 0.51187021 0.32879759 29.328003 18.838714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32888833-0.32879759) × R
    9.07400000000336e-05 × 6371000     		dl = 578.104540000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32888833-0.32879759) × R
    9.07400000000336e-05 × 6371000     		dr = 578.104540000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51187021) × cos(0.32888833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946401987803243 × 6371000     		do = 578.050759653898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51187021) × cos(0.32879759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946431292123165 × 6371000     		du = 578.068658374114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32888833)-sin(0.32879759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946401987803243-0.946431292123165)×R²
    abs(0.51187021-0.51177434)×2.93043199212084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93043199212084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93043199212084e-05×40589641000000     		ar = 334178.942401625m²