Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38103 / 29984
↖ ↑ ↗
← N 15.114553°
E 29.306030°		 ← 589.66 m → N 15.114553°
E 29.311523°		 →
↑
589.70 m
↓
↑
589.70 m
↓
N 15.109249°
E 29.306030°		 ← 589.67 m →
347 726 m²		 N 15.109249°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581413269042969 y=0.457527160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581413269042969 × 216)
    floor (0.581413269042969 × 65536)
    floor (38103.5)     		tx = 38103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457527160644531 × 216)
    floor (0.457527160644531 × 65536)
    floor (29984.5)     		ty = 29984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38103 / 29984 ti = "16/38103/29984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38103/29984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38103 ÷ 216
    38103 ÷ 65536     		x = 0.581405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29984 ÷ 216
    29984 ÷ 65536     		y = 0.45751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    0.0849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51148672} λ = 0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266912657084473))-π/2
    2×atan(1.30592637793188)-π/2
    2×0.917297519684861-π/2
    1.83459503936972-1.57079632675     		φ = 0.26379871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26379871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.114553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38103 KachelY 29984 0.51148672 0.26379871 29.306030 15.114553
    Oben rechts KachelX + 1 38104 KachelY 29984 0.51158259 0.26379871 29.311523 15.114553
    Unten links KachelX 38103 KachelY + 1 29985 0.51148672 0.26370615 29.306030 15.109249
    Unten rechts KachelX + 1 38104 KachelY + 1 29985 0.51158259 0.26370615 29.311523 15.109249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26379871-0.26370615) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dl = 589.699760000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26379871-0.26370615) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dr = 589.699760000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51148672-0.51158259) × cos(0.26379871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965406433429109 × 6371000     		do = 589.658442617806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51148672-0.51158259) × cos(0.26370615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965430564287991 × 6371000     		du = 589.673181451291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26379871)-sin(0.26370615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965406433429109-0.965430564287991)×R²
    abs(0.51158259-0.51148672)×2.41308588815325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41308588815325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41308588815325e-05×40589641000000     		ar = 347725.788085195m²