Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38103 / 29977
↖ ↑ ↗
← N 15.151672°
E 29.306030°		 ← 589.56 m → N 15.151672°
E 29.311523°		 →
↑
589.64 m
↓
↑
589.64 m
↓
N 15.146369°
E 29.306030°		 ← 589.57 m →
347 627 m²		 N 15.146369°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581413269042969 y=0.457420349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581413269042969 × 216)
    floor (0.581413269042969 × 65536)
    floor (38103.5)     		tx = 38103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457420349121094 × 216)
    floor (0.457420349121094 × 65536)
    floor (29977.5)     		ty = 29977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38103 / 29977 ti = "16/38103/29977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38103/29977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38103 ÷ 216
    38103 ÷ 65536     		x = 0.581405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29977 ÷ 216
    29977 ÷ 65536     		y = 0.457412719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457412719726562 × 2 - 1) × π
    0.085174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.267583773679153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51148672} λ = 0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267583773679153))-π/2
    2×atan(1.30680310095432)-π/2
    2×0.917621441458093-π/2
    1.83524288291619-1.57079632675     		φ = 0.26444656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26444656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.151672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38103 KachelY 29977 0.51148672 0.26444656 29.306030 15.151672
    Oben rechts KachelX + 1 38104 KachelY 29977 0.51158259 0.26444656 29.311523 15.151672
    Unten links KachelX 38103 KachelY + 1 29978 0.51148672 0.26435401 29.306030 15.146369
    Unten rechts KachelX + 1 38104 KachelY + 1 29978 0.51158259 0.26435401 29.311523 15.146369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26444656-0.26435401) × R
    9.25500000000246e-05 × 6371000     		dl = 589.636050000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26444656-0.26435401) × R
    9.25500000000246e-05 × 6371000     		dr = 589.636050000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51148672-0.51158259) × cos(0.26444656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965237304137393 × 6371000     		do = 589.555140514877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51148672-0.51158259) × cos(0.26435401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965261490269665 × 6371000     		du = 589.569913108673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26444656)-sin(0.26435401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965237304137393-0.965261490269665)×R²
    abs(0.51158259-0.51148672)×2.41861322722858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41861322722858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41861322722858e-05×40589641000000     		ar = 347627.31978566m²