Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38102 / 29983
↖ ↑ ↗
← N 15.119856°
E 29.300537°		 ← 589.64 m → N 15.119856°
E 29.306030°		 →
↑
589.70 m
↓
↑
589.70 m
↓
N 15.114553°
E 29.300537°		 ← 589.66 m →
347 717 m²		 N 15.114553°
E 29.306030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581398010253906 y=0.457511901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581398010253906 × 216)
    floor (0.581398010253906 × 65536)
    floor (38102.5)     		tx = 38102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457511901855469 × 216)
    floor (0.457511901855469 × 65536)
    floor (29983.5)     		ty = 29983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38102 / 29983 ti = "16/38102/29983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38102/29983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38102 ÷ 216
    38102 ÷ 65536     		x = 0.581390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29983 ÷ 216
    29983 ÷ 65536     		y = 0.457504272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581390380859375 × 2 - 1) × π
    0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457504272460938 × 2 - 1) × π
    0.084991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267008530883713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51139085} λ = 0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267008530883713))-π/2
    2×atan(1.30605158805735)-π/2
    2×0.917343797697598-π/2
    1.8346875953952-1.57079632675     		φ = 0.26389127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26389127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.119856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38102 KachelY 29983 0.51139085 0.26389127 29.300537 15.119856
    Oben rechts KachelX + 1 38103 KachelY 29983 0.51148672 0.26389127 29.306030 15.119856
    Unten links KachelX 38102 KachelY + 1 29984 0.51139085 0.26379871 29.300537 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 38103 KachelY + 1 29984 0.51148672 0.26379871 29.306030 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26389127-0.26379871) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dl = 589.699760000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26389127-0.26379871) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dr = 589.699760000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51139085-0.51148672) × cos(0.26389127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965382294299249 × 6371000     		do = 589.643698732509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51139085-0.51148672) × cos(0.26379871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 589.658442617806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26389127)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965382294299249-0.965406433429109)×R²
    abs(0.51148672-0.51139085)×2.41391298597682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41391298597682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41391298597682e-05×40589641000000     		ar = 347717.095109264m²