Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38101 / 29269
↖ ↑ ↗
← N 18.869905°
E 29.295044°		 ← 578.02 m → N 18.869905°
E 29.300537°		 →
↑
577.98 m
↓
↑
577.98 m
↓
N 18.864707°
E 29.295044°		 ← 578.04 m →
334 088 m²		 N 18.864707°
E 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581382751464844 y=0.446617126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581382751464844 × 216)
    floor (0.581382751464844 × 65536)
    floor (38101.5)     		tx = 38101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446617126464844 × 216)
    floor (0.446617126464844 × 65536)
    floor (29269.5)     		ty = 29269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38101 / 29269 ti = "16/38101/29269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38101/29269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38101 ÷ 216
    38101 ÷ 65536     		x = 0.581375122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29269 ÷ 216
    29269 ÷ 65536     		y = 0.446609497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581375122070312 × 2 - 1) × π
    0.162750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51129497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446609497070312 × 2 - 1) × π
    0.106781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.335462423541153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51129497} λ = 0.51129497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335462423541153))-π/2
    2×atan(1.39858697525343)-π/2
    2×0.950069148370578-π/2
    1.90013829674116-1.57079632675     		φ = 0.32934197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51129497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.295044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32934197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.869905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38101 KachelY 29269 0.51129497 0.32934197 29.295044 18.869905
    Oben rechts KachelX + 1 38102 KachelY 29269 0.51139085 0.32934197 29.300537 18.869905
    Unten links KachelX 38101 KachelY + 1 29270 0.51129497 0.32925125 29.295044 18.864707
    Unten rechts KachelX + 1 38102 KachelY + 1 29270 0.51139085 0.32925125 29.300537 18.864707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32934197-0.32925125) × R
    9.07199999999886e-05 × 6371000     		dl = 577.977119999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32934197-0.32925125) × R
    9.07199999999886e-05 × 6371000     		dr = 577.977119999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51129497-0.51139085) × cos(0.32934197) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946255368727167 × 6371000     		do = 578.021492444557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51129497-0.51139085) × cos(0.32925125) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946284705535006 × 6371000     		du = 578.039412877044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32934197)-sin(0.32925125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946255368727167-0.946284705535006)×R²
    abs(0.51139085-0.51129497)×2.93368078391198e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93368078391198e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93368078391198e-05×40589641000000     		ar = 334088.376530181m²