Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3810 / 2528
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 12.568359°		 ← 2 692.80 m → N 56.559482°
W 12.524414°		 →
↑
2 693.66 m
↓
↑
2 693.66 m
↓
N 56.535258°
W 12.568359°		 ← 2 694.53 m →
7 255 819 m²		 N 56.535258°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46514892578125 y=0.30865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46514892578125 × 213)
    floor (0.46514892578125 × 8192)
    floor (3810.5)     		tx = 3810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30865478515625 × 213)
    floor (0.30865478515625 × 8192)
    floor (2528.5)     		ty = 2528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3810 / 2528 ti = "13/3810/2528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3810/2528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3810 ÷ 213
    3810 ÷ 8192     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2528 ÷ 213
    2528 ÷ 8192     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3810 KachelY 2528 -0.21935925 0.98714919 -12.568359 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 3811 KachelY 2528 -0.21859226 0.98714919 -12.524414 56.559482
    Unten links KachelX 3810 KachelY + 1 2529 -0.21935925 0.98672639 -12.568359 56.535258
    Unten rechts KachelX + 1 3811 KachelY + 1 2529 -0.21859226 0.98672639 -12.524414 56.535258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98672639) × R
    0.000422800000000056 × 6371000     		dl = 2693.65880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98672639) × R
    0.000422800000000056 × 6371000     		dr = 2693.65880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21859226) × cos(0.98714919) × R
    0.000766989999999995 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 2692.80464091052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21859226) × cos(0.98672639) × R
    0.000766989999999995 × 0.551423738676219 × 6371000     		du = 2694.52839898804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98672639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551423738676219)×R²
    abs(-0.21859226--0.21935925)×0.000352759734888242×R²
    0.000766989999999995×0.000352759734888242×6371000²
    0.000766989999999995×0.000352759734888242×40589641000000     		ar = 7255818.63381526m²