Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3810 / 2029
↖ ↑ ↗
← N 66.843807°
W 12.568359°		 ← 1 921.56 m → N 66.843807°
W 12.524414°		 →
↑
1 922.19 m
↓
↑
1 922.19 m
↓
N 66.826520°
W 12.568359°		 ← 1 922.92 m →
3 694 915 m²		 N 66.826520°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46514892578125 y=0.24774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46514892578125 × 213)
    floor (0.46514892578125 × 8192)
    floor (3810.5)     		tx = 3810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24774169921875 × 213)
    floor (0.24774169921875 × 8192)
    floor (2029.5)     		ty = 2029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3810 / 2029 ti = "13/3810/2029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3810/2029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3810 ÷ 213
    3810 ÷ 8192     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2029 ÷ 213
    2029 ÷ 8192     		y = 0.2476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2476806640625 × 2 - 1) × π
    0.504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5853691442345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5853691442345))-π/2
    2×atan(4.88109287327879)-π/2
    2×1.36872042507993-π/2
    2.73744085015986-1.57079632675     		φ = 1.16664452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16664452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.843807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3810 KachelY 2029 -0.21935925 1.16664452 -12.568359 66.843807
    Oben rechts KachelX + 1 3811 KachelY 2029 -0.21859226 1.16664452 -12.524414 66.843807
    Unten links KachelX 3810 KachelY + 1 2030 -0.21935925 1.16634281 -12.568359 66.826520
    Unten rechts KachelX + 1 3811 KachelY + 1 2030 -0.21859226 1.16634281 -12.524414 66.826520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16664452-1.16634281) × R
    0.000301710000000011 × 6371000     		dl = 1922.19441000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16664452-1.16634281) × R
    0.000301710000000011 × 6371000     		dr = 1922.19441000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21859226) × cos(1.16664452) × R
    0.000766989999999995 × 0.393239042321398 × 6371000     		do = 1921.55994166953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21859226) × cos(1.16634281) × R
    0.000766989999999995 × 0.393516427536312 × 6371000     		du = 1922.91538266095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16664452)-sin(1.16634281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393239042321398-0.393516427536312)×R²
    abs(-0.21859226--0.21935925)×0.000277385214914272×R²
    0.000766989999999995×0.000277385214914272×6371000²
    0.000766989999999995×0.000277385214914272×40589641000000     		ar = 3694914.51693364m²