Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38099 / 29981
↖ ↑ ↗
← N 15.130461°
E 29.284057°		 ← 589.68 m → N 15.130461°
E 29.289551°		 →
↑
589.64 m
↓
↑
589.64 m
↓
N 15.125159°
E 29.284057°		 ← 589.69 m →
347 698 m²		 N 15.125159°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581352233886719 y=0.457481384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581352233886719 × 216)
    floor (0.581352233886719 × 65536)
    floor (38099.5)     		tx = 38099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457481384277344 × 216)
    floor (0.457481384277344 × 65536)
    floor (29981.5)     		ty = 29981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38099 / 29981 ti = "16/38099/29981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38099/29981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38099 ÷ 216
    38099 ÷ 65536     		x = 0.581344604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29981 ÷ 216
    29981 ÷ 65536     		y = 0.457473754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581344604492188 × 2 - 1) × π
    0.162689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51110322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457473754882812 × 2 - 1) × π
    0.085052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.267200278482193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51110322} λ = 0.51110322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267200278482193))-π/2
    2×atan(1.30630204432428)-π/2
    2×0.917436350250839-π/2
    1.83487270050168-1.57079632675     		φ = 0.26407637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51110322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.284057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26407637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.130461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38099 KachelY 29981 0.51110322 0.26407637 29.284057 15.130461
    Oben rechts KachelX + 1 38100 KachelY 29981 0.51119910 0.26407637 29.289551 15.130461
    Unten links KachelX 38099 KachelY + 1 29982 0.51110322 0.26398382 29.284057 15.125159
    Unten rechts KachelX + 1 38100 KachelY + 1 29982 0.51119910 0.26398382 29.289551 15.125159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26407637-0.26398382) × R
    9.25500000000246e-05 × 6371000     		dl = 589.636050000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26407637-0.26398382) × R
    9.25500000000246e-05 × 6371000     		dr = 589.636050000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51110322-0.51119910) × cos(0.26407637) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965333996447778 × 6371000     		do = 589.675700424736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51110322-0.51119910) × cos(0.26398382) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965358149507902 × 6371000     		du = 589.69045435726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26407637)-sin(0.26398382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965333996447778-0.965358149507902)×R²
    abs(0.51119910-0.51110322)×2.41530601245987e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.41530601245987e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.41530601245987e-05×40589641000000     		ar = 347698.400753082m²