Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38099 / 27284
↖ ↑ ↗
← N 28.825425°
E 29.284057°		 ← 535.16 m → N 28.825425°
E 29.289551°		 →
↑
535.16 m
↓
↑
535.16 m
↓
N 28.820612°
E 29.284057°		 ← 535.19 m →
286 406 m²		 N 28.820612°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581352233886719 y=0.416328430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581352233886719 × 216)
    floor (0.581352233886719 × 65536)
    floor (38099.5)     		tx = 38099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416328430175781 × 216)
    floor (0.416328430175781 × 65536)
    floor (27284.5)     		ty = 27284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38099 / 27284 ti = "16/38099/27284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38099/27284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38099 ÷ 216
    38099 ÷ 65536     		x = 0.581344604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27284 ÷ 216
    27284 ÷ 65536     		y = 0.41632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581344604492188 × 2 - 1) × π
    0.162689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51110322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41632080078125 × 2 - 1) × π
    0.1673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.525771915032776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51110322} λ = 0.51110322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525771915032776))-π/2
    2×atan(1.69176424273839)-π/2
    2×1.03694745392714-π/2
    2.07389490785428-1.57079632675     		φ = 0.50309858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51110322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.284057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50309858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.825425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38099 KachelY 27284 0.51110322 0.50309858 29.284057 28.825425
    Oben rechts KachelX + 1 38100 KachelY 27284 0.51119910 0.50309858 29.289551 28.825425
    Unten links KachelX 38099 KachelY + 1 27285 0.51110322 0.50301458 29.284057 28.820612
    Unten rechts KachelX + 1 38100 KachelY + 1 27285 0.51119910 0.50301458 29.289551 28.820612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50309858-0.50301458) × R
    8.3999999999973e-05 × 6371000     		dl = 535.163999999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50309858-0.50301458) × R
    8.3999999999973e-05 × 6371000     		dr = 535.163999999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51110322-0.51119910) × cos(0.50309858) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.876092812963516 × 6371000     		do = 535.162591416396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51110322-0.51119910) × cos(0.50301458) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.876133309841983 × 6371000     		du = 535.187328994542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50309858)-sin(0.50301458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876092812963516-0.876133309841983)×R²
    abs(0.51119910-0.51110322)×4.04968784668558e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.04968784668558e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.04968784668558e-05×40589641000000     		ar = 286406.372571778m²