Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38098 / 29270
↖ ↑ ↗
← N 18.864707°
E 29.278564°		 ← 577.98 m → N 18.864707°
E 29.284057°		 →
↑
578.04 m
↓
↑
578.04 m
↓
N 18.859509°
E 29.278564°		 ← 578 m →
334 101 m²		 N 18.859509°
E 29.284057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581336975097656 y=0.446632385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581336975097656 × 216)
    floor (0.581336975097656 × 65536)
    floor (38098.5)     		tx = 38098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446632385253906 × 216)
    floor (0.446632385253906 × 65536)
    floor (29270.5)     		ty = 29270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38098 / 29270 ti = "16/38098/29270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38098/29270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38098 ÷ 216
    38098 ÷ 65536     		x = 0.581329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29270 ÷ 216
    29270 ÷ 65536     		y = 0.446624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581329345703125 × 2 - 1) × π
    0.16265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51100735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    0.10675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.335366549741913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51100735} λ = 0.51100735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335366549741913))-π/2
    2×atan(1.39845289383409)-π/2
    2×0.950023787118747-π/2
    1.90004757423749-1.57079632675     		φ = 0.32925125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51100735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.278564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32925125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.864707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38098 KachelY 29270 0.51100735 0.32925125 29.278564 18.864707
    Oben rechts KachelX + 1 38099 KachelY 29270 0.51110322 0.32925125 29.284057 18.864707
    Unten links KachelX 38098 KachelY + 1 29271 0.51100735 0.32916052 29.278564 18.859509
    Unten rechts KachelX + 1 38099 KachelY + 1 29271 0.51110322 0.32916052 29.284057 18.859509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32925125-0.32916052) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dl = 578.040829999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32925125-0.32916052) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dr = 578.040829999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51100735-0.51110322) × cos(0.32925125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946284705535006 × 6371000     		do = 577.97912507882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51100735-0.51110322) × cos(0.32916052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		du = 577.997040859786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32925125)-sin(0.32916052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946284705535006-0.946314037787297)×R²
    abs(0.51110322-0.51100735)×2.9332252291181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9332252291181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9332252291181e-05×40589641000000     		ar = 334100.711438906m²