Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38095 / 29991
↖ ↑ ↗
← N 15.077428°
E 29.262085°		 ← 589.76 m → N 15.077428°
E 29.267578°		 →
↑
589.83 m
↓
↑
589.83 m
↓
N 15.072123°
E 29.262085°		 ← 589.78 m →
347 862 m²		 N 15.072123°
E 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581291198730469 y=0.457633972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581291198730469 × 216)
    floor (0.581291198730469 × 65536)
    floor (38095.5)     		tx = 38095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457633972167969 × 216)
    floor (0.457633972167969 × 65536)
    floor (29991.5)     		ty = 29991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38095 / 29991 ti = "16/38095/29991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38095/29991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38095 ÷ 216
    38095 ÷ 65536     		x = 0.581283569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29991 ÷ 216
    29991 ÷ 65536     		y = 0.457626342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581283569335938 × 2 - 1) × π
    0.162567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51071973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457626342773438 × 2 - 1) × π
    0.084747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.266241540489792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51071973} λ = 0.51071973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266241540489792))-π/2
    2×atan(1.30505024309542)-π/2
    2×0.91697354122248-π/2
    1.83394708244496-1.57079632675     		φ = 0.26315076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51071973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26315076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.077428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38095 KachelY 29991 0.51071973 0.26315076 29.262085 15.077428
    Oben rechts KachelX + 1 38096 KachelY 29991 0.51081560 0.26315076 29.267578 15.077428
    Unten links KachelX 38095 KachelY + 1 29992 0.51071973 0.26305818 29.262085 15.072123
    Unten rechts KachelX + 1 38096 KachelY + 1 29992 0.51081560 0.26305818 29.267578 15.072123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26315076-0.26305818) × R
    9.25800000000088e-05 × 6371000     		dl = 589.827180000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26315076-0.26305818) × R
    9.25800000000088e-05 × 6371000     		dr = 589.827180000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51071973-0.51081560) × cos(0.26315076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965575183542888 × 6371000     		do = 589.761513123488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51071973-0.51081560) × cos(0.26305818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96559926169715 × 6371000     		du = 589.776219765636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26315076)-sin(0.26305818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965575183542888-0.96559926169715)×R²
    abs(0.51081560-0.51071973)×2.40781542626411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.40781542626411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.40781542626411e-05×40589641000000     		ar = 347861.707595109m²