Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38095 / 29265
↖ ↑ ↗
← N 18.890695°
E 29.262085°		 ← 577.89 m → N 18.890695°
E 29.267578°		 →
↑
577.91 m
↓
↑
577.91 m
↓
N 18.885498°
E 29.262085°		 ← 577.91 m →
333 975 m²		 N 18.885498°
E 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581291198730469 y=0.446556091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581291198730469 × 216)
    floor (0.581291198730469 × 65536)
    floor (38095.5)     		tx = 38095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446556091308594 × 216)
    floor (0.446556091308594 × 65536)
    floor (29265.5)     		ty = 29265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38095 / 29265 ti = "16/38095/29265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38095/29265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38095 ÷ 216
    38095 ÷ 65536     		x = 0.581283569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29265 ÷ 216
    29265 ÷ 65536     		y = 0.446548461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581283569335938 × 2 - 1) × π
    0.162567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51071973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446548461914062 × 2 - 1) × π
    0.106903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.335845918738113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51071973} λ = 0.51071973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335845918738113))-π/2
    2×atan(1.39912342949821)-π/2
    2×0.950250579309413-π/2
    1.90050115861883-1.57079632675     		φ = 0.32970483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51071973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32970483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.890695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38095 KachelY 29265 0.51071973 0.32970483 29.262085 18.890695
    Oben rechts KachelX + 1 38096 KachelY 29265 0.51081560 0.32970483 29.267578 18.890695
    Unten links KachelX 38095 KachelY + 1 29266 0.51071973 0.32961412 29.262085 18.885498
    Unten rechts KachelX + 1 38096 KachelY + 1 29266 0.51081560 0.32961412 29.267578 18.885498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32970483-0.32961412) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dl = 577.913409999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32970483-0.32961412) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dr = 577.913409999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51071973-0.51081560) × cos(0.32970483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946137950095565 × 6371000     		do = 577.889488651228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51071973-0.51081560) × cos(0.32961412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946167314814633 × 6371000     		du = 577.907424262505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32970483)-sin(0.32961412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946137950095565-0.946167314814633)×R²
    abs(0.51081560-0.51071973)×2.93647190684476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93647190684476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93647190684476e-05×40589641000000     		ar = 333975.267833751m²