Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38094 / 29970
↖ ↑ ↗
← N 15.188784°
E 29.256592°		 ← 589.51 m → N 15.188784°
E 29.262085°		 →
↑
589.51 m
↓
↑
589.51 m
↓
N 15.183482°
E 29.256592°		 ← 589.53 m →
347 527 m²		 N 15.183482°
E 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581275939941406 y=0.457313537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581275939941406 × 216)
    floor (0.581275939941406 × 65536)
    floor (38094.5)     		tx = 38094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457313537597656 × 216)
    floor (0.457313537597656 × 65536)
    floor (29970.5)     		ty = 29970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38094 / 29970 ti = "16/38094/29970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38094/29970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38094 ÷ 216
    38094 ÷ 65536     		x = 0.581268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29970 ÷ 216
    29970 ÷ 65536     		y = 0.457305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581268310546875 × 2 - 1) × π
    0.16253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51062385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    0.08538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.268254890273834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51062385} λ = 0.51062385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268254890273834))-π/2
    2×atan(1.30768041255761)-π/2
    2×0.91794530641617-π/2
    1.83589061283234-1.57079632675     		φ = 0.26509429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51062385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.256592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26509429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.188784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38094 KachelY 29970 0.51062385 0.26509429 29.256592 15.188784
    Oben rechts KachelX + 1 38095 KachelY 29970 0.51071973 0.26509429 29.262085 15.188784
    Unten links KachelX 38094 KachelY + 1 29971 0.51062385 0.26500176 29.256592 15.183482
    Unten rechts KachelX + 1 38095 KachelY + 1 29971 0.51071973 0.26500176 29.262085 15.183482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26509429-0.26500176) × R
    9.25300000000351e-05 × 6371000     		dl = 589.508630000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26509429-0.26500176) × R
    9.25300000000351e-05 × 6371000     		dr = 589.508630000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51062385-0.51071973) × cos(0.26509429) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965067801166345 × 6371000     		do = 589.513094643104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51062385-0.51071973) × cos(0.26500176) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965092039919524 × 6371000     		du = 589.527900921356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26509429)-sin(0.26500176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965067801166345-0.965092039919524)×R²
    abs(0.51071973-0.51062385)×2.42387531782517e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.42387531782517e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.42387531782517e-05×40589641000000     		ar = 347527.421252478m²