Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38093 / 29275
↖ ↑ ↗
← N 18.838714°
E 29.251099°		 ← 578.07 m → N 18.838714°
E 29.256592°		 →
↑
578.10 m
↓
↑
578.10 m
↓
N 18.833515°
E 29.251099°		 ← 578.09 m →
334 189 m²		 N 18.833515°
E 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581260681152344 y=0.446708679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581260681152344 × 216)
    floor (0.581260681152344 × 65536)
    floor (38093.5)     		tx = 38093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446708679199219 × 216)
    floor (0.446708679199219 × 65536)
    floor (29275.5)     		ty = 29275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38093 / 29275 ti = "16/38093/29275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38093/29275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38093 ÷ 216
    38093 ÷ 65536     		x = 0.581253051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29275 ÷ 216
    29275 ÷ 65536     		y = 0.446701049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581253051757812 × 2 - 1) × π
    0.162506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51052798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446701049804688 × 2 - 1) × π
    0.106597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.334887180745712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51052798} λ = 0.51052798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334887180745712))-π/2
    2×atan(1.39778267952695)-π/2
    2×0.949796959773345-π/2
    1.89959391954669-1.57079632675     		φ = 0.32879759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51052798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.251099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32879759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.838714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38093 KachelY 29275 0.51052798 0.32879759 29.251099 18.838714
    Oben rechts KachelX + 1 38094 KachelY 29275 0.51062385 0.32879759 29.256592 18.838714
    Unten links KachelX 38093 KachelY + 1 29276 0.51052798 0.32870685 29.251099 18.833515
    Unten rechts KachelX + 1 38094 KachelY + 1 29276 0.51062385 0.32870685 29.256592 18.833515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32879759-0.32870685) × R
    9.07399999999781e-05 × 6371000     		dl = 578.10453999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32879759-0.32870685) × R
    9.07399999999781e-05 × 6371000     		dr = 578.10453999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51052798-0.51062385) × cos(0.32879759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946431292123165 × 6371000     		do = 578.068658374114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51052798-0.51062385) × cos(0.32870685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946460588650409 × 6371000     		du = 578.086552334658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32879759)-sin(0.32870685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946431292123165-0.946460588650409)×R²
    abs(0.51062385-0.51052798)×2.92965272448154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92965272448154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92965272448154e-05×40589641000000     		ar = 334189.288356933m²