Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38092 / 29985
↖ ↑ ↗
← N 15.109249°
E 29.245606°		 ← 589.67 m → N 15.109249°
E 29.251099°		 →
↑
589.70 m
↓
↑
589.70 m
↓
N 15.103946°
E 29.245606°		 ← 589.69 m →
347 734 m²		 N 15.103946°
E 29.251099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581245422363281 y=0.457542419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581245422363281 × 216)
    floor (0.581245422363281 × 65536)
    floor (38092.5)     		tx = 38092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457542419433594 × 216)
    floor (0.457542419433594 × 65536)
    floor (29985.5)     		ty = 29985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38092 / 29985 ti = "16/38092/29985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38092/29985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38092 ÷ 216
    38092 ÷ 65536     		x = 0.58123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29985 ÷ 216
    29985 ÷ 65536     		y = 0.457534790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58123779296875 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    0.084930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266816783285233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51043211} λ = 0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266816783285233))-π/2
    2×atan(1.30580117981021)-π/2
    2×0.917251240515201-π/2
    1.8345024810304-1.57079632675     		φ = 0.26370615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26370615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.109249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38092 KachelY 29985 0.51043211 0.26370615 29.245606 15.109249
    Oben rechts KachelX + 1 38093 KachelY 29985 0.51052798 0.26370615 29.251099 15.109249
    Unten links KachelX 38092 KachelY + 1 29986 0.51043211 0.26361359 29.245606 15.103946
    Unten rechts KachelX + 1 38093 KachelY + 1 29986 0.51052798 0.26361359 29.251099 15.103946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26370615-0.26361359) × R
    9.25599999999638e-05 × 6371000     		dl = 589.699759999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26370615-0.26361359) × R
    9.25599999999638e-05 × 6371000     		dr = 589.699759999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51043211-0.51052798) × cos(0.26370615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965430564287991 × 6371000     		do = 589.673181451291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51043211-0.51052798) × cos(0.26361359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965454686875687 × 6371000     		du = 589.687915232836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26370615)-sin(0.26361359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965430564287991-0.965454686875687)×R²
    abs(0.51052798-0.51043211)×2.41225876964624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41225876964624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41225876964624e-05×40589641000000     		ar = 347734.478082103m²