Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38091 / 29988
↖ ↑ ↗
← N 15.093340°
E 29.240112°		 ← 589.78 m → N 15.093340°
E 29.245606°		 →
↑
589.76 m
↓
↑
589.76 m
↓
N 15.088036°
E 29.240112°		 ← 589.79 m →
347 834 m²		 N 15.088036°
E 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581230163574219 y=0.457588195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581230163574219 × 216)
    floor (0.581230163574219 × 65536)
    floor (38091.5)     		tx = 38091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457588195800781 × 216)
    floor (0.457588195800781 × 65536)
    floor (29988.5)     		ty = 29988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38091 / 29988 ti = "16/38091/29988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38091/29988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38091 ÷ 216
    38091 ÷ 65536     		x = 0.581222534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29988 ÷ 216
    29988 ÷ 65536     		y = 0.45758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581222534179688 × 2 - 1) × π
    0.162445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51033623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45758056640625 × 2 - 1) × π
    0.0848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51033623} λ = 0.51033623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266529161887512))-π/2
    2×atan(1.30542565745645)-π/2
    2×0.91711239606837-π/2
    1.83422479213674-1.57079632675     		φ = 0.26342847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51033623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.240112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26342847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.093340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38091 KachelY 29988 0.51033623 0.26342847 29.240112 15.093340
    Oben rechts KachelX + 1 38092 KachelY 29988 0.51043211 0.26342847 29.245606 15.093340
    Unten links KachelX 38091 KachelY + 1 29989 0.51033623 0.26333590 29.240112 15.088036
    Unten rechts KachelX + 1 38092 KachelY + 1 29989 0.51043211 0.26333590 29.245606 15.088036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26342847-0.26333590) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dl = 589.763470000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26342847-0.26333590) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dr = 589.763470000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51033623-0.51043211) × cos(0.26342847) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965502907236698 × 6371000     		do = 589.778879830136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51033623-0.51043211) × cos(0.26333590) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965527007612629 × 6371000     		du = 589.793601580442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26342847)-sin(0.26333590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965502907236698-0.965527007612629)×R²
    abs(0.51043211-0.51033623)×2.41003759308134e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.41003759308134e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.41003759308134e-05×40589641000000     		ar = 347834.380124898m²