Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38090 / 29987
↖ ↑ ↗
← N 15.098643°
E 29.234619°		 ← 589.70 m → N 15.098643°
E 29.240112°		 →
↑
589.70 m
↓
↑
589.70 m
↓
N 15.093340°
E 29.234619°		 ← 589.72 m →
347 752 m²		 N 15.093340°
E 29.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581214904785156 y=0.457572937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581214904785156 × 216)
    floor (0.581214904785156 × 65536)
    floor (38090.5)     		tx = 38090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457572937011719 × 216)
    floor (0.457572937011719 × 65536)
    floor (29987.5)     		ty = 29987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38090 / 29987 ti = "16/38090/29987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38090/29987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38090 ÷ 216
    38090 ÷ 65536     		x = 0.581207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29987 ÷ 216
    29987 ÷ 65536     		y = 0.457565307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581207275390625 × 2 - 1) × π
    0.16241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51024036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457565307617188 × 2 - 1) × π
    0.084869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.266625035686752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51024036} λ = 0.51024036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266625035686752))-π/2
    2×atan(1.30555081957364)-π/2
    2×0.917158678706589-π/2
    1.83431735741318-1.57079632675     		φ = 0.26352103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51024036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.234619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26352103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.098643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38090 KachelY 29987 0.51024036 0.26352103 29.234619 15.098643
    Oben rechts KachelX + 1 38091 KachelY 29987 0.51033623 0.26352103 29.240112 15.098643
    Unten links KachelX 38090 KachelY + 1 29988 0.51024036 0.26342847 29.234619 15.093340
    Unten rechts KachelX + 1 38091 KachelY + 1 29988 0.51033623 0.26342847 29.240112 15.093340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26352103-0.26342847) × R
    9.25599999999638e-05 × 6371000     		dl = 589.699759999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26352103-0.26342847) × R
    9.25599999999638e-05 × 6371000     		dr = 589.699759999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51024036-0.51033623) × cos(0.26352103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965478801191992 × 6371000     		do = 589.702643962317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51024036-0.51033623) × cos(0.26342847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965502907236698 × 6371000     		du = 589.717367639607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26352103)-sin(0.26342847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965478801191992-0.965502907236698)×R²
    abs(0.51033623-0.51024036)×2.41060447064845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41060447064845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41060447064845e-05×40589641000000     		ar = 347751.849138632m²