Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3809 / 2531
↖ ↑ ↗
← N 56.486762°
W 12.612305°		 ← 2 697.98 m → N 56.486762°
W 12.568359°		 →
↑
2 698.88 m
↓
↑
2 698.88 m
↓
N 56.462490°
W 12.612305°		 ← 2 699.70 m →
7 283 855 m²		 N 56.462490°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46502685546875 y=0.30902099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46502685546875 × 213)
    floor (0.46502685546875 × 8192)
    floor (3809.5)     		tx = 3809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30902099609375 × 213)
    floor (0.30902099609375 × 8192)
    floor (2531.5)     		ty = 2531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3809 / 2531 ti = "13/3809/2531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3809/2531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3809 ÷ 213
    3809 ÷ 8192     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2531 ÷ 213
    2531 ÷ 8192     		y = 0.3089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3089599609375 × 2 - 1) × π
    0.382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20033996648621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20033996648621))-π/2
    2×atan(3.32124584310724)-π/2
    2×1.27833815157326-π/2
    2.55667630314652-1.57079632675     		φ = 0.98587998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98587998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.486762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3809 KachelY 2531 -0.22012624 0.98587998 -12.612305 56.486762
    Oben rechts KachelX + 1 3810 KachelY 2531 -0.21935925 0.98587998 -12.568359 56.486762
    Unten links KachelX 3809 KachelY + 1 2532 -0.22012624 0.98545636 -12.612305 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 3810 KachelY + 1 2532 -0.21935925 0.98545636 -12.568359 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98587998-0.98545636) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dl = 2698.88301999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98587998-0.98545636) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dr = 2698.88301999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.21935925) × cos(0.98587998) × R
    0.000766989999999995 × 0.552129637710084 × 6371000     		do = 2697.97776988044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.21935925) × cos(0.98545636) × R
    0.000766989999999995 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 2699.70342095912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98587998)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552129637710084-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.21935925--0.22012624)×0.000353147129498854×R²
    0.000766989999999995×0.000353147129498854×6371000²
    0.000766989999999995×0.000353147129498854×40589641000000     		ar = 7283855.16558976m²