Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3809 / 2514
↖ ↑ ↗
← N 56.897004°
W 12.612305°		 ← 2 668.74 m → N 56.897004°
W 12.568359°		 →
↑
2 669.58 m
↓
↑
2 669.58 m
↓
N 56.872996°
W 12.612305°		 ← 2 670.45 m →
7 126 688 m²		 N 56.872996°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46502685546875 y=0.30694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46502685546875 × 213)
    floor (0.46502685546875 × 8192)
    floor (3809.5)     		tx = 3809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30694580078125 × 213)
    floor (0.30694580078125 × 8192)
    floor (2514.5)     		ty = 2514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3809 / 2514 ti = "13/3809/2514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3809/2514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3809 ÷ 213
    3809 ÷ 8192     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2514 ÷ 213
    2514 ÷ 8192     		y = 0.306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306884765625 × 2 - 1) × π
    0.38623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21337880318286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21337880318286))-π/2
    2×atan(3.36483458095599)-π/2
    2×1.28191818986114-π/2
    2.56383637972229-1.57079632675     		φ = 0.99304005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99304005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.897004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3809 KachelY 2514 -0.22012624 0.99304005 -12.612305 56.897004
    Oben rechts KachelX + 1 3810 KachelY 2514 -0.21935925 0.99304005 -12.568359 56.897004
    Unten links KachelX 3809 KachelY + 1 2515 -0.22012624 0.99262103 -12.612305 56.872996
    Unten rechts KachelX + 1 3810 KachelY + 1 2515 -0.21935925 0.99262103 -12.568359 56.872996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99304005-0.99262103) × R
    0.000419019999999937 × 6371000     		dl = 2669.5764199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99304005-0.99262103) × R
    0.000419019999999937 × 6371000     		dr = 2669.5764199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.21935925) × cos(0.99304005) × R
    0.000766989999999995 × 0.546145768252595 × 6371000     		do = 2668.73763192818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.21935925) × cos(0.99262103) × R
    0.000766989999999995 × 0.546496729226556 × 6371000     		du = 2670.4526003725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99304005)-sin(0.99262103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546145768252595-0.546496729226556)×R²
    abs(-0.21935925--0.22012624)×0.000350960973961256×R²
    0.000766989999999995×0.000350960973961256×6371000²
    0.000766989999999995×0.000350960973961256×40589641000000     		ar = 7126688.27729325m²