Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38088 / 29992
↖ ↑ ↗
← N 15.072123°
E 29.223633°		 ← 589.84 m → N 15.072123°
E 29.229126°		 →
↑
589.83 m
↓
↑
589.83 m
↓
N 15.066819°
E 29.223633°		 ← 589.85 m →
347 907 m²		 N 15.066819°
E 29.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581184387207031 y=0.457649230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581184387207031 × 216)
    floor (0.581184387207031 × 65536)
    floor (38088.5)     		tx = 38088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457649230957031 × 216)
    floor (0.457649230957031 × 65536)
    floor (29992.5)     		ty = 29992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38088 / 29992 ti = "16/38088/29992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38088/29992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38088 ÷ 216
    38088 ÷ 65536     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29992 ÷ 216
    29992 ÷ 65536     		y = 0.4576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266145666690552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266145666690552))-π/2
    2×atan(1.30492512896809)-π/2
    2×0.916927253964664-π/2
    1.83385450792933-1.57079632675     		φ = 0.26305818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26305818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.072123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38088 KachelY 29992 0.51004861 0.26305818 29.223633 15.072123
    Oben rechts KachelX + 1 38089 KachelY 29992 0.51014449 0.26305818 29.229126 15.072123
    Unten links KachelX 38088 KachelY + 1 29993 0.51004861 0.26296560 29.223633 15.066819
    Unten rechts KachelX + 1 38089 KachelY + 1 29993 0.51014449 0.26296560 29.229126 15.066819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26305818-0.26296560) × R
    9.25799999999533e-05 × 6371000     		dl = 589.827179999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26305818-0.26296560) × R
    9.25799999999533e-05 × 6371000     		dr = 589.827179999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51014449) × cos(0.26305818) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.96559926169715 × 6371000     		do = 589.837738094225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51014449) × cos(0.26296560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965623331575207 × 6371000     		du = 589.852441214859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26305818)-sin(0.26296560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96559926169715-0.965623331575207)×R²
    abs(0.51014449-0.51004861)×2.40698780569204e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.40698780569204e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.40698780569204e-05×40589641000000     		ar = 347906.666116238m²