Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38088 / 29975
↖ ↑ ↗
← N 15.162276°
E 29.223633°		 ← 589.59 m → N 15.162276°
E 29.229126°		 →
↑
589.51 m
↓
↑
589.51 m
↓
N 15.156974°
E 29.223633°		 ← 589.60 m →
347 571 m²		 N 15.156974°
E 29.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581184387207031 y=0.457389831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581184387207031 × 216)
    floor (0.581184387207031 × 65536)
    floor (38088.5)     		tx = 38088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457389831542969 × 216)
    floor (0.457389831542969 × 65536)
    floor (29975.5)     		ty = 29975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38088 / 29975 ti = "16/38088/29975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38088/29975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38088 ÷ 216
    38088 ÷ 65536     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29975 ÷ 216
    29975 ÷ 65536     		y = 0.457382202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457382202148438 × 2 - 1) × π
    0.085235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267775521277634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267775521277634))-π/2
    2×atan(1.30705370133586)-π/2
    2×0.91771398010623-π/2
    1.83542796021246-1.57079632675     		φ = 0.26463163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26463163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.162276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38088 KachelY 29975 0.51004861 0.26463163 29.223633 15.162276
    Oben rechts KachelX + 1 38089 KachelY 29975 0.51014449 0.26463163 29.229126 15.162276
    Unten links KachelX 38088 KachelY + 1 29976 0.51004861 0.26453910 29.223633 15.156974
    Unten rechts KachelX + 1 38089 KachelY + 1 29976 0.51014449 0.26453910 29.229126 15.156974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26463163-0.26453910) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dl = 589.50862999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26463163-0.26453910) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dr = 589.50862999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51014449) × cos(0.26463163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965188914916441 × 6371000     		do = 589.587077155915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51014449) × cos(0.26453910) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965213112352023 × 6371000     		du = 589.601858195253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26463163)-sin(0.26453910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965188914916441-0.965213112352023)×R²
    abs(0.51014449-0.51004861)×2.41974355817964e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.41974355817964e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.41974355817964e-05×40589641000000     		ar = 347571.027142995m²