Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38086 / 30922
↖ ↑ ↗
← N 10.087854°
E 29.212646°		 ← 601.41 m → N 10.087854°
E 29.218140°		 →
↑
601.36 m
↓
↑
601.36 m
↓
N 10.082445°
E 29.212646°		 ← 601.42 m →
361 665 m²		 N 10.082445°
E 29.218140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581153869628906 y=0.471839904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581153869628906 × 216)
    floor (0.581153869628906 × 65536)
    floor (38086.5)     		tx = 38086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471839904785156 × 216)
    floor (0.471839904785156 × 65536)
    floor (30922.5)     		ty = 30922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38086 / 30922 ti = "16/38086/30922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38086/30922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38086 ÷ 216
    38086 ÷ 65536     		x = 0.581146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30922 ÷ 216
    30922 ÷ 65536     		y = 0.471832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581146240234375 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50985686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471832275390625 × 2 - 1) × π
    0.05633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.176983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50985686} λ = 0.50985686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176983033397247))-π/2
    2×atan(1.19361084143435)-π/2
    2×0.873431295196949-π/2
    1.7468625903939-1.57079632675     		φ = 0.17606626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50985686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.212646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17606626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.087854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38086 KachelY 30922 0.50985686 0.17606626 29.212646 10.087854
    Oben rechts KachelX + 1 38087 KachelY 30922 0.50995274 0.17606626 29.218140 10.087854
    Unten links KachelX 38086 KachelY + 1 30923 0.50985686 0.17597187 29.212646 10.082445
    Unten rechts KachelX + 1 38087 KachelY + 1 30923 0.50995274 0.17597187 29.218140 10.082445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17606626-0.17597187) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dl = 601.358689999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17606626-0.17597187) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dr = 601.358689999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50985686-0.50995274) × cos(0.17606626) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984540334624457 × 6371000     		do = 601.407920525347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50985686-0.50995274) × cos(0.17597187) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984556863403407 × 6371000     		du = 601.418017154431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17606626)-sin(0.17597187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984540334624457-0.984556863403407)×R²
    abs(0.50995274-0.50985686)×1.65287789496427e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65287789496427e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65287789496427e-05×40589641000000     		ar = 361664.915359082m²