Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38085 / 27299
↖ ↑ ↗
← N 28.753213°
E 29.207153°		 ← 535.48 m → N 28.753213°
E 29.212646°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
N 28.748396°
E 29.207153°		 ← 535.50 m →
286 780 m²		 N 28.748396°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581138610839844 y=0.416557312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581138610839844 × 216)
    floor (0.581138610839844 × 65536)
    floor (38085.5)     		tx = 38085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416557312011719 × 216)
    floor (0.416557312011719 × 65536)
    floor (27299.5)     		ty = 27299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38085 / 27299 ti = "16/38085/27299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38085/27299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38085 ÷ 216
    38085 ÷ 65536     		x = 0.581130981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27299 ÷ 216
    27299 ÷ 65536     		y = 0.416549682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581130981445312 × 2 - 1) × π
    0.162261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50976099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416549682617188 × 2 - 1) × π
    0.166900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.524333808044174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50976099} λ = 0.50976099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524333808044174))-π/2
    2×atan(1.68933305333209)-π/2
    2×1.0363172780477-π/2
    2.0726345560954-1.57079632675     		φ = 0.50183823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50976099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.207153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50183823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.753213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38085 KachelY 27299 0.50976099 0.50183823 29.207153 28.753213
    Oben rechts KachelX + 1 38086 KachelY 27299 0.50985686 0.50183823 29.212646 28.753213
    Unten links KachelX 38085 KachelY + 1 27300 0.50976099 0.50175417 29.207153 28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 38086 KachelY + 1 27300 0.50985686 0.50175417 29.212646 28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50183823-0.50175417) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50183823-0.50175417) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50976099-0.50985686) × cos(0.50183823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876699785264266 × 6371000     		do = 535.477506801028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50976099-0.50985686) × cos(0.50175417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876740218214884 × 6371000     		du = 535.502202752771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50183823)-sin(0.50175417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876699785264266-0.876740218214884)×R²
    abs(0.50985686-0.50976099)×4.04329506182854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×40589641000000     		ar = 286779.589162747m²