Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38084 / 29995
↖ ↑ ↗
← N 15.056210°
E 29.201660°		 ← 589.82 m → N 15.056210°
E 29.207153°		 →
↑
589.83 m
↓
↑
589.83 m
↓
N 15.050906°
E 29.201660°		 ← 589.83 m →
347 896 m²		 N 15.050906°
E 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581123352050781 y=0.457695007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581123352050781 × 216)
    floor (0.581123352050781 × 65536)
    floor (38084.5)     		tx = 38084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457695007324219 × 216)
    floor (0.457695007324219 × 65536)
    floor (29995.5)     		ty = 29995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38084 / 29995 ti = "16/38084/29995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38084/29995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38084 ÷ 216
    38084 ÷ 65536     		x = 0.58111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29995 ÷ 216
    29995 ÷ 65536     		y = 0.457687377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457687377929688 × 2 - 1) × π
    0.084625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265858045292831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50966512} λ = 0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265858045292831))-π/2
    2×atan(1.30454985854907)-π/2
    2×0.91678838526881-π/2
    1.83357677053762-1.57079632675     		φ = 0.26278044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26278044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.056210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38084 KachelY 29995 0.50966512 0.26278044 29.201660 15.056210
    Oben rechts KachelX + 1 38085 KachelY 29995 0.50976099 0.26278044 29.207153 15.056210
    Unten links KachelX 38084 KachelY + 1 29996 0.50966512 0.26268786 29.201660 15.050906
    Unten rechts KachelX + 1 38085 KachelY + 1 29996 0.50976099 0.26268786 29.207153 15.050906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26278044-0.26268786) × R
    9.25800000000088e-05 × 6371000     		dl = 589.827180000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26278044-0.26268786) × R
    9.25800000000088e-05 × 6371000     		dr = 589.827180000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50966512-0.50976099) × cos(0.26278044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965671446501879 × 6371000     		do = 589.820309361544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50966512-0.50976099) × cos(0.26268786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965695491550081 × 6371000     		du = 589.834995782915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26278044)-sin(0.26268786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965671446501879-0.965695491550081)×R²
    abs(0.50976099-0.50966512)×2.40450482021926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.40450482021926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.40450482021926e-05×40589641000000     		ar = 347896.38125111m²