Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38081 / 30911
↖ ↑ ↗
← N 10.147339°
E 29.185181°		 ← 601.23 m → N 10.147339°
E 29.190674°		 →
↑
601.29 m
↓
↑
601.29 m
↓
N 10.141932°
E 29.185181°		 ← 601.24 m →
361 522 m²		 N 10.141932°
E 29.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581077575683594 y=0.471672058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581077575683594 × 216)
    floor (0.581077575683594 × 65536)
    floor (38081.5)     		tx = 38081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471672058105469 × 216)
    floor (0.471672058105469 × 65536)
    floor (30911.5)     		ty = 30911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38081 / 30911 ti = "16/38081/30911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38081/30911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38081 ÷ 216
    38081 ÷ 65536     		x = 0.581069946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30911 ÷ 216
    30911 ÷ 65536     		y = 0.471664428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581069946289062 × 2 - 1) × π
    0.162139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50937750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471664428710938 × 2 - 1) × π
    0.056671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.178037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50937750} λ = 0.50937750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178037645188889))-π/2
    2×atan(1.19487030150635)-π/2
    2×0.87395040107941-π/2
    1.74790080215882-1.57079632675     		φ = 0.17710448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50937750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.185181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17710448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.147339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38081 KachelY 30911 0.50937750 0.17710448 29.185181 10.147339
    Oben rechts KachelX + 1 38082 KachelY 30911 0.50947337 0.17710448 29.190674 10.147339
    Unten links KachelX 38081 KachelY + 1 30912 0.50937750 0.17701010 29.185181 10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 38082 KachelY + 1 30912 0.50947337 0.17701010 29.190674 10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17710448-0.17701010) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dl = 601.294980000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17710448-0.17701010) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dr = 601.294980000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50937750-0.50947337) × cos(0.17710448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984357951486587 × 6371000     		do = 601.233798070248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50937750-0.50947337) × cos(0.17701010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 601.243951496185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17710448)-sin(0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984357951486587-0.984374574979126)×R²
    abs(0.50947337-0.50937750)×1.66234925382813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66234925382813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66234925382813e-05×40589641000000     		ar = 361521.917456435m²