Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38080 / 30915
↖ ↑ ↗
← N 10.125710°
E 29.179687°		 ← 601.34 m → N 10.125710°
E 29.185181°		 →
↑
601.36 m
↓
↑
601.36 m
↓
N 10.120301°
E 29.179687°		 ← 601.35 m →
361 622 m²		 N 10.120301°
E 29.185181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581062316894531 y=0.471733093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581062316894531 × 216)
    floor (0.581062316894531 × 65536)
    floor (38080.5)     		tx = 38080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471733093261719 × 216)
    floor (0.471733093261719 × 65536)
    floor (30915.5)     		ty = 30915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38080 / 30915 ti = "16/38080/30915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38080/30915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38080 ÷ 216
    38080 ÷ 65536     		x = 0.5810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30915 ÷ 216
    30915 ÷ 65536     		y = 0.471725463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471725463867188 × 2 - 1) × π
    0.056549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177654149991928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50928162} λ = 0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177654149991928))-π/2
    2×atan(1.19441216233743)-π/2
    2×0.873761646434036-π/2
    1.74752329286807-1.57079632675     		φ = 0.17672697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17672697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.125710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38080 KachelY 30915 0.50928162 0.17672697 29.179687 10.125710
    Oben rechts KachelX + 1 38081 KachelY 30915 0.50937750 0.17672697 29.185181 10.125710
    Unten links KachelX 38080 KachelY + 1 30916 0.50928162 0.17663258 29.179687 10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 38081 KachelY + 1 30916 0.50937750 0.17663258 29.185181 10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17672697-0.17663258) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dl = 601.358689999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17672697-0.17663258) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dr = 601.358689999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50928162-0.50937750) × cos(0.17672697) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984424391087666 × 6371000     		do = 601.337096244302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50928162-0.50937750) × cos(0.17663258) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 601.347230377948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17672697)-sin(0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984424391087666-0.984440981263803)×R²
    abs(0.50937750-0.50928162)×1.65901761368659e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65901761368659e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65901761368659e-05×40589641000000     		ar = 361622.335839088m²