Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38073 / 30875
↖ ↑ ↗
← N 10.341940°
E 29.141235°		 ← 600.93 m → N 10.341940°
E 29.146729°		 →
↑
600.91 m
↓
↑
600.91 m
↓
N 10.336536°
E 29.141235°		 ← 600.94 m →
361 108 m²		 N 10.336536°
E 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580955505371094 y=0.471122741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580955505371094 × 216)
    floor (0.580955505371094 × 65536)
    floor (38073.5)     		tx = 38073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471122741699219 × 216)
    floor (0.471122741699219 × 65536)
    floor (30875.5)     		ty = 30875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38073 / 30875 ti = "16/38073/30875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38073/30875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38073 ÷ 216
    38073 ÷ 65536     		x = 0.580947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30875 ÷ 216
    30875 ÷ 65536     		y = 0.471115112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580947875976562 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471115112304688 × 2 - 1) × π
    0.057769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.181489101961533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50861050} λ = 0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181489101961533))-π/2
    2×atan(1.19900146987437)-π/2
    2×0.875648615897664-π/2
    1.75129723179533-1.57079632675     		φ = 0.18050091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18050091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.341940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38073 KachelY 30875 0.50861050 0.18050091 29.141235 10.341940
    Oben rechts KachelX + 1 38074 KachelY 30875 0.50870638 0.18050091 29.146729 10.341940
    Unten links KachelX 38073 KachelY + 1 30876 0.50861050 0.18040659 29.141235 10.336536
    Unten rechts KachelX + 1 38074 KachelY + 1 30876 0.50870638 0.18040659 29.146729 10.336536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18050091-0.18040659) × R
    9.43199999999811e-05 × 6371000     		dl = 600.91271999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18050091-0.18040659) × R
    9.43199999999811e-05 × 6371000     		dr = 600.91271999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50861050-0.50870638) × cos(0.18050091) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.983753891659732 × 6371000     		do = 600.927520676408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50861050-0.50870638) × cos(0.18040659) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.983770819833598 × 6371000     		du = 600.937861276469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18050091)-sin(0.18040659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983753891659732-0.983770819833598)×R²
    abs(0.50870638-0.50861050)×1.69281738666704e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.69281738666704e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.69281738666704e-05×40589641000000     		ar = 361108.098139184m²