Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3807 / 2131
↖ ↑ ↗
← N 65.016506°
W 12.700195°		 ← 2 063.85 m → N 65.016506°
W 12.656250°		 →
↑
2 064.52 m
↓
↑
2 064.52 m
↓
N 64.997939°
W 12.700195°		 ← 2 065.28 m →
4 262 337 m²		 N 64.997939°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46478271484375 y=0.26019287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46478271484375 × 213)
    floor (0.46478271484375 × 8192)
    floor (3807.5)     		tx = 3807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26019287109375 × 213)
    floor (0.26019287109375 × 8192)
    floor (2131.5)     		ty = 2131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3807 / 2131 ti = "13/3807/2131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3807/2131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3807 ÷ 213
    3807 ÷ 8192     		x = 0.4647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2131 ÷ 213
    2131 ÷ 8192     		y = 0.2601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2601318359375 × 2 - 1) × π
    0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22166022} λ = -0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50713612405457))-π/2
    2×atan(4.51378534480966)-π/2
    2×1.35277421467008-π/2
    2.70554842934016-1.57079632675     		φ = 1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3807 KachelY 2131 -0.22166022 1.13475210 -12.700195 65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 3808 KachelY 2131 -0.22089323 1.13475210 -12.656250 65.016506
    Unten links KachelX 3807 KachelY + 1 2132 -0.22166022 1.13442805 -12.700195 64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 3808 KachelY + 1 2132 -0.22089323 1.13442805 -12.656250 64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13475210-1.13442805) × R
    0.000324050000000131 × 6371000     		dl = 2064.52255000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13475210-1.13442805) × R
    0.000324050000000131 × 6371000     		dr = 2064.52255000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22166022--0.22089323) × cos(1.13475210) × R
    0.000766989999999995 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 2063.84537670866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22166022--0.22089323) × cos(1.13442805) × R
    0.000766989999999995 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 2065.28057056689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13475210)-sin(1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422650855736037)×R²
    abs(-0.22089323--0.22166022)×0.000293706298782892×R²
    0.000766989999999995×0.000293706298782892×6371000²
    0.000766989999999995×0.000293706298782892×40589641000000     		ar = 4262336.85227343m²