Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38069 / 27290
↖ ↑ ↗
← N 28.796547°
E 29.119263°		 ← 535.26 m → N 28.796547°
E 29.124756°		 →
↑
535.29 m
↓
↑
535.29 m
↓
N 28.791733°
E 29.119263°		 ← 535.28 m →
286 524 m²		 N 28.791733°
E 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580894470214844 y=0.416419982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580894470214844 × 216)
    floor (0.580894470214844 × 65536)
    floor (38069.5)     		tx = 38069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416419982910156 × 216)
    floor (0.416419982910156 × 65536)
    floor (27290.5)     		ty = 27290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38069 / 27290 ti = "16/38069/27290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38069/27290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38069 ÷ 216
    38069 ÷ 65536     		x = 0.580886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27290 ÷ 216
    27290 ÷ 65536     		y = 0.416412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580886840820312 × 2 - 1) × π
    0.161773681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50822701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416412353515625 × 2 - 1) × π
    0.16717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.525196672237335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50822701} λ = 0.50822701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525196672237335))-π/2
    2×atan(1.69079134739852)-π/2
    2×1.03669543595171-π/2
    2.07339087190341-1.57079632675     		φ = 0.50259455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50822701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.119263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50259455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.796547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38069 KachelY 27290 0.50822701 0.50259455 29.119263 28.796547
    Oben rechts KachelX + 1 38070 KachelY 27290 0.50832288 0.50259455 29.124756 28.796547
    Unten links KachelX 38069 KachelY + 1 27291 0.50822701 0.50251053 29.119263 28.791733
    Unten rechts KachelX + 1 38070 KachelY + 1 27291 0.50832288 0.50251053 29.124756 28.791733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50259455-0.50251053) × R
    8.40199999999625e-05 × 6371000     		dl = 535.291419999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50259455-0.50251053) × R
    8.40199999999625e-05 × 6371000     		dr = 535.291419999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50822701-0.50832288) × cos(0.50259455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87633571594968 × 6371000     		do = 535.255137716247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50822701-0.50832288) × cos(0.50251053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		du = 535.279855938485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50259455)-sin(0.50251053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87633571594968-0.876376185362219)×R²
    abs(0.50832288-0.50822701)×4.04694125386573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04694125386573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04694125386573e-05×40589641000000     		ar = 286524.09862495m²