Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38063 / 27295
↖ ↑ ↗
← N 28.772474°
E 29.086304°		 ← 535.38 m → N 28.772474°
E 29.091797°		 →
↑
535.42 m
↓
↑
535.42 m
↓
N 28.767659°
E 29.086304°		 ← 535.40 m →
286 658 m²		 N 28.767659°
E 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580802917480469 y=0.416496276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580802917480469 × 216)
    floor (0.580802917480469 × 65536)
    floor (38063.5)     		tx = 38063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416496276855469 × 216)
    floor (0.416496276855469 × 65536)
    floor (27295.5)     		ty = 27295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38063 / 27295 ti = "16/38063/27295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38063/27295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38063 ÷ 216
    38063 ÷ 65536     		x = 0.580795288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27295 ÷ 216
    27295 ÷ 65536     		y = 0.416488647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580795288085938 × 2 - 1) × π
    0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416488647460938 × 2 - 1) × π
    0.167022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.524717303241135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50765177} λ = 0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524717303241135))-π/2
    2×atan(1.68998102868388)-π/2
    2×1.03648536761831-π/2
    2.07297073523663-1.57079632675     		φ = 0.50217441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50217441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.772474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38063 KachelY 27295 0.50765177 0.50217441 29.086304 28.772474
    Oben rechts KachelX + 1 38064 KachelY 27295 0.50774764 0.50217441 29.091797 28.772474
    Unten links KachelX 38063 KachelY + 1 27296 0.50765177 0.50209037 29.086304 28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 38064 KachelY + 1 27296 0.50774764 0.50209037 29.091797 28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50217441-0.50209037) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dl = 535.418839999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50217441-0.50209037) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dr = 535.418839999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50765177-0.50774764) × cos(0.50217441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87653802039627 × 6371000     		do = 535.378702798041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50765177-0.50774764) × cos(0.50209037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 535.403408002009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50217441)-sin(0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87653802039627-0.876578468494909)×R²
    abs(0.50774764-0.50765177)×4.04480986393452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04480986393452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04480986393452e-05×40589641000000     		ar = 286658.457997075m²