Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38062 / 27294
↖ ↑ ↗
← N 28.777289°
E 29.080810°		 ← 535.41 m → N 28.777289°
E 29.086304°		 →
↑
535.36 m
↓
↑
535.36 m
↓
N 28.772474°
E 29.080810°		 ← 535.43 m →
286 641 m²		 N 28.772474°
E 29.086304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580787658691406 y=0.416481018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580787658691406 × 216)
    floor (0.580787658691406 × 65536)
    floor (38062.5)     		tx = 38062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416481018066406 × 216)
    floor (0.416481018066406 × 65536)
    floor (27294.5)     		ty = 27294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38062 / 27294 ti = "16/38062/27294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38062/27294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38062 ÷ 216
    38062 ÷ 65536     		x = 0.580780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27294 ÷ 216
    27294 ÷ 65536     		y = 0.416473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580780029296875 × 2 - 1) × π
    0.16156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50755589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416473388671875 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.524813177040375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50755589} λ = 0.50755589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524813177040375))-π/2
    2×atan(1.69014306135296)-π/2
    2×1.03652738516389-π/2
    2.07305477032779-1.57079632675     		φ = 0.50225844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50755589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.080810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50225844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.777289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38062 KachelY 27294 0.50755589 0.50225844 29.080810 28.777289
    Oben rechts KachelX + 1 38063 KachelY 27294 0.50765177 0.50225844 29.086304 28.777289
    Unten links KachelX 38062 KachelY + 1 27295 0.50755589 0.50217441 29.080810 28.772474
    Unten rechts KachelX + 1 38063 KachelY + 1 27295 0.50765177 0.50217441 29.086304 28.772474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50225844-0.50217441) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dl = 535.355130000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50225844-0.50217441) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dr = 535.355130000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50755589-0.50765177) × cos(0.50225844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		do = 535.409838413116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50755589-0.50765177) × cos(0.50217441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.87653802039627 × 6371000     		du = 535.434547034981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50225844)-sin(0.50217441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876497570920949-0.87653802039627)×R²
    abs(0.50765177-0.50755589)×4.04494753206697e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04494753206697e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04494753206697e-05×40589641000000     		ar = 286641.017759501m²