Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3806 / 2030
↖ ↑ ↗
← N 66.826520°
W 12.744140°		 ← 1 922.92 m → N 66.826520°
W 12.700195°		 →
↑
1 923.60 m
↓
↑
1 923.60 m
↓
N 66.809221°
W 12.744140°		 ← 1 924.27 m →
3 700 217 m²		 N 66.809221°
W 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46466064453125 y=0.24786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46466064453125 × 213)
    floor (0.46466064453125 × 8192)
    floor (3806.5)     		tx = 3806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24786376953125 × 213)
    floor (0.24786376953125 × 8192)
    floor (2030.5)     		ty = 2030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3806 / 2030 ti = "13/3806/2030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3806/2030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3806 ÷ 213
    3806 ÷ 8192     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2030 ÷ 213
    2030 ÷ 8192     		y = 0.247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247802734375 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58460215384058))-π/2
    2×atan(4.87735055727682)-π/2
    2×1.36856956661307-π/2
    2.73713913322613-1.57079632675     		φ = 1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3806 KachelY 2030 -0.22242721 1.16634281 -12.744140 66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 3807 KachelY 2030 -0.22166022 1.16634281 -12.700195 66.826520
    Unten links KachelX 3806 KachelY + 1 2031 -0.22242721 1.16604088 -12.744140 66.809221
    Unten rechts KachelX + 1 3807 KachelY + 1 2031 -0.22166022 1.16604088 -12.700195 66.809221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16634281-1.16604088) × R
    0.000301930000000006 × 6371000     		dl = 1923.59603000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16634281-1.16604088) × R
    0.000301930000000006 × 6371000     		dr = 1923.59603000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22166022) × cos(1.16634281) × R
    0.000766989999999995 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 1922.91538266095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22166022) × cos(1.16604088) × R
    0.000766989999999995 × 0.39379397915358 × 6371000     		du = 1924.27163677635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16634281)-sin(1.16604088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.39379397915358)×R²
    abs(-0.22166022--0.22242721)×0.000277551617267224×R²
    0.000766989999999995×0.000277551617267224×6371000²
    0.000766989999999995×0.000277551617267224×40589641000000     		ar = 3700216.86674011m²