Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38058 / 30362
↖ ↑ ↗
← N 13.100880°
E 29.058838°		 ← 594.89 m → N 13.100880°
E 29.064331°		 →
↑
594.92 m
↓
↑
594.92 m
↓
N 13.095530°
E 29.058838°		 ← 594.90 m →
353 918 m²		 N 13.095530°
E 29.064331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580726623535156 y=0.463294982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580726623535156 × 216)
    floor (0.580726623535156 × 65536)
    floor (38058.5)     		tx = 38058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463294982910156 × 216)
    floor (0.463294982910156 × 65536)
    floor (30362.5)     		ty = 30362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38058 / 30362 ti = "16/38058/30362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38058/30362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38058 ÷ 216
    38058 ÷ 65536     		x = 0.580718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30362 ÷ 216
    30362 ÷ 65536     		y = 0.463287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580718994140625 × 2 - 1) × π
    0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    0.07342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23067236097171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50717240} λ = 0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23067236097171))-π/2
    2×atan(1.25944652800612)-π/2
    2×0.899724908582643-π/2
    1.79944981716529-1.57079632675     		φ = 0.22865349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22865349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.100880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38058 KachelY 30362 0.50717240 0.22865349 29.058838 13.100880
    Oben rechts KachelX + 1 38059 KachelY 30362 0.50726827 0.22865349 29.064331 13.100880
    Unten links KachelX 38058 KachelY + 1 30363 0.50717240 0.22856011 29.058838 13.095530
    Unten rechts KachelX + 1 38059 KachelY + 1 30363 0.50726827 0.22856011 29.064331 13.095530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22865349-0.22856011) × R
    9.33799999999763e-05 × 6371000     		dl = 594.923979999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22865349-0.22856011) × R
    9.33799999999763e-05 × 6371000     		dr = 594.923979999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50717240-0.50726827) × cos(0.22865349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973972486255959 × 6371000     		do = 594.89048292162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50717240-0.50726827) × cos(0.22856011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973993648105387 × 6371000     		du = 594.903408320441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22865349)-sin(0.22856011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973972486255959-0.973993648105387)×R²
    abs(0.50726827-0.50717240)×2.11618494277976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11618494277976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11618494277976e-05×40589641000000     		ar = 353918.458835771m²