Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38047 / 28387
↖ ↑ ↗
← N 23.387640°
E 28.998413°		 ← 560.61 m → N 23.387640°
E 29.003906°		 →
↑
560.65 m
↓
↑
560.65 m
↓
N 23.382598°
E 28.998413°		 ← 560.63 m →
314 308 m²		 N 23.382598°
E 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580558776855469 y=0.433158874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580558776855469 × 216)
    floor (0.580558776855469 × 65536)
    floor (38047.5)     		tx = 38047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433158874511719 × 216)
    floor (0.433158874511719 × 65536)
    floor (28387.5)     		ty = 28387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38047 / 28387 ti = "16/38047/28387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38047/28387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38047 ÷ 216
    38047 ÷ 65536     		x = 0.580551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28387 ÷ 216
    28387 ÷ 65536     		y = 0.433151245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580551147460938 × 2 - 1) × π
    0.161102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50611779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433151245117188 × 2 - 1) × π
    0.133697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420023114470932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50611779} λ = 0.50611779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420023114470932))-π/2
    2×atan(1.52199673536135)-π/2
    2×0.989493826511374-π/2
    1.97898765302275-1.57079632675     		φ = 0.40819133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50611779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.998413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40819133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.387640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38047 KachelY 28387 0.50611779 0.40819133 28.998413 23.387640
    Oben rechts KachelX + 1 38048 KachelY 28387 0.50621366 0.40819133 29.003906 23.387640
    Unten links KachelX 38047 KachelY + 1 28388 0.50611779 0.40810333 28.998413 23.382598
    Unten rechts KachelX + 1 38048 KachelY + 1 28388 0.50621366 0.40810333 29.003906 23.382598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40819133-0.40810333) × R
    8.80000000000325e-05 × 6371000     		dl = 560.648000000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40819133-0.40810333) × R
    8.80000000000325e-05 × 6371000     		dr = 560.648000000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50611779-0.50621366) × cos(0.40819133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917840275074396 × 6371000     		do = 560.605614828865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50611779-0.50621366) × cos(0.40810333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917875203112376 × 6371000     		du = 560.626948447293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40819133)-sin(0.40810333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917840275074396-0.917875203112376)×R²
    abs(0.50621366-0.50611779)×3.49280379802197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49280379802197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49280379802197e-05×40589641000000     		ar = 314308.397270757m²