Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38045 / 28381
↖ ↑ ↗
← N 23.417888°
E 28.987427°		 ← 560.48 m → N 23.417888°
E 28.992920°		 →
↑
560.52 m
↓
↑
560.52 m
↓
N 23.412847°
E 28.987427°		 ← 560.50 m →
314 165 m²		 N 23.412847°
E 28.992920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580528259277344 y=0.433067321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580528259277344 × 216)
    floor (0.580528259277344 × 65536)
    floor (38045.5)     		tx = 38045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433067321777344 × 216)
    floor (0.433067321777344 × 65536)
    floor (28381.5)     		ty = 28381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38045 / 28381 ti = "16/38045/28381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38045/28381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38045 ÷ 216
    38045 ÷ 65536     		x = 0.580520629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28381 ÷ 216
    28381 ÷ 65536     		y = 0.433059692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580520629882812 × 2 - 1) × π
    0.161041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50592604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433059692382812 × 2 - 1) × π
    0.133880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.420598357266373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50592604} λ = 0.50592604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420598357266373))-π/2
    2×atan(1.52287250488396)-π/2
    2×0.989757786864502-π/2
    1.979515573729-1.57079632675     		φ = 0.40871925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50592604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.987427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40871925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.417888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38045 KachelY 28381 0.50592604 0.40871925 28.987427 23.417888
    Oben rechts KachelX + 1 38046 KachelY 28381 0.50602191 0.40871925 28.992920 23.417888
    Unten links KachelX 38045 KachelY + 1 28382 0.50592604 0.40863127 28.987427 23.412847
    Unten rechts KachelX + 1 38046 KachelY + 1 28382 0.50602191 0.40863127 28.992920 23.412847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40871925-0.40863127) × R
    8.79799999999875e-05 × 6371000     		dl = 560.52057999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40871925-0.40863127) × R
    8.79799999999875e-05 × 6371000     		dr = 560.52057999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50592604-0.50602191) × cos(0.40871925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917630589387883 × 6371000     		do = 560.477541375998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50592604-0.50602191) × cos(0.40863127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917665552114801 × 6371000     		du = 560.498896182006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40871925)-sin(0.40863127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917630589387883-0.917665552114801)×R²
    abs(0.50602191-0.50592604)×3.49627269182751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49627269182751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49627269182751e-05×40589641000000     		ar = 314165.181675841m²