Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38045 / 28379
↖ ↑ ↗
← N 23.427969°
E 28.987427°		 ← 560.43 m → N 23.427969°
E 28.992920°		 →
↑
560.46 m
↓
↑
560.46 m
↓
N 23.422928°
E 28.987427°		 ← 560.46 m →
314 106 m²		 N 23.422928°
E 28.992920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580528259277344 y=0.433036804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580528259277344 × 216)
    floor (0.580528259277344 × 65536)
    floor (38045.5)     		tx = 38045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433036804199219 × 216)
    floor (0.433036804199219 × 65536)
    floor (28379.5)     		ty = 28379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38045 / 28379 ti = "16/38045/28379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38045/28379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38045 ÷ 216
    38045 ÷ 65536     		x = 0.580520629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28379 ÷ 216
    28379 ÷ 65536     		y = 0.433029174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580520629882812 × 2 - 1) × π
    0.161041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50592604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433029174804688 × 2 - 1) × π
    0.133941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420790104864853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50592604} λ = 0.50592604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420790104864853))-π/2
    2×atan(1.52316454002718)-π/2
    2×0.989845760242929-π/2
    1.97969152048586-1.57079632675     		φ = 0.40889519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50592604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.987427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40889519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.427969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38045 KachelY 28379 0.50592604 0.40889519 28.987427 23.427969
    Oben rechts KachelX + 1 38046 KachelY 28379 0.50602191 0.40889519 28.992920 23.427969
    Unten links KachelX 38045 KachelY + 1 28380 0.50592604 0.40880722 28.987427 23.422928
    Unten rechts KachelX + 1 38046 KachelY + 1 28380 0.50602191 0.40880722 28.992920 23.422928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40889519-0.40880722) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dl = 560.456869999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40889519-0.40880722) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dr = 560.456869999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50592604-0.50602191) × cos(0.40889519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917560650577529 × 6371000     		do = 560.434823605986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50592604-0.50602191) × cos(0.40880722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917595623533214 × 6371000     		du = 560.456184659599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40889519)-sin(0.40880722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917560650577529-0.917595623533214)×R²
    abs(0.50602191-0.50592604)×3.49729556849976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49729556849976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49729556849976e-05×40589641000000     		ar = 314105.533254332m²