Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38044 / 28380
↖ ↑ ↗
← N 23.422928°
E 28.981933°		 ← 560.51 m → N 23.422928°
E 28.987427°		 →
↑
560.46 m
↓
↑
560.46 m
↓
N 23.417888°
E 28.981933°		 ← 560.54 m →
314 150 m²		 N 23.417888°
E 28.987427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580513000488281 y=0.433052062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580513000488281 × 216)
    floor (0.580513000488281 × 65536)
    floor (38044.5)     		tx = 38044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433052062988281 × 216)
    floor (0.433052062988281 × 65536)
    floor (28380.5)     		ty = 28380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38044 / 28380 ti = "16/38044/28380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38044/28380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38044 ÷ 216
    38044 ÷ 65536     		x = 0.58050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28380 ÷ 216
    28380 ÷ 65536     		y = 0.43304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58050537109375 × 2 - 1) × π
    0.1610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50583016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43304443359375 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.420694231065613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50583016} λ = 0.50583016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420694231065613))-π/2
    2×atan(1.52301851545594)-π/2
    2×0.98980177439191-π/2
    1.97960354878382-1.57079632675     		φ = 0.40880722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50583016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.981933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40880722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.422928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38044 KachelY 28380 0.50583016 0.40880722 28.981933 23.422928
    Oben rechts KachelX + 1 38045 KachelY 28380 0.50592604 0.40880722 28.987427 23.422928
    Unten links KachelX 38044 KachelY + 1 28381 0.50583016 0.40871925 28.981933 23.417888
    Unten rechts KachelX + 1 38045 KachelY + 1 28381 0.50592604 0.40871925 28.987427 23.417888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40880722-0.40871925) × R
    8.79700000000483e-05 × 6371000     		dl = 560.456870000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40880722-0.40871925) × R
    8.79700000000483e-05 × 6371000     		dr = 560.456870000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50583016-0.50592604) × cos(0.40880722) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.917595623533214 × 6371000     		do = 560.514644676419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50583016-0.50592604) × cos(0.40871925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.917630589387883 × 6371000     		du = 560.536003620493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40880722)-sin(0.40871925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917595623533214-0.917630589387883)×R²
    abs(0.50592604-0.50583016)×3.49658546686671e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.49658546686671e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.49658546686671e-05×40589641000000     		ar = 314150.268930741m²