Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38043 / 27260
↖ ↑ ↗
← N 28.940862°
E 28.976440°		 ← 534.51 m → N 28.940862°
E 28.981933°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
N 28.936054°
E 28.976440°		 ← 534.54 m →
285 752 m²		 N 28.936054°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580497741699219 y=0.415962219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580497741699219 × 216)
    floor (0.580497741699219 × 65536)
    floor (38043.5)     		tx = 38043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415962219238281 × 216)
    floor (0.415962219238281 × 65536)
    floor (27260.5)     		ty = 27260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38043 / 27260 ti = "16/38043/27260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38043/27260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38043 ÷ 216
    38043 ÷ 65536     		x = 0.580490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27260 ÷ 216
    27260 ÷ 65536     		y = 0.41595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580490112304688 × 2 - 1) × π
    0.160980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50573429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41595458984375 × 2 - 1) × π
    0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50573429} λ = 0.50573429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528072886214539))-π/2
    2×atan(1.69566142544035)-π/2
    2×1.03795482651118-π/2
    2.07590965302237-1.57079632675     		φ = 0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50573429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.976440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38043 KachelY 27260 0.50573429 0.50511333 28.976440 28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 38044 KachelY 27260 0.50583016 0.50511333 28.981933 28.940862
    Unten links KachelX 38043 KachelY + 1 27261 0.50573429 0.50502942 28.976440 28.936054
    Unten rechts KachelX + 1 38044 KachelY + 1 27261 0.50583016 0.50502942 28.981933 28.936054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50511333-0.50502942) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50511333-0.50502942) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50573429-0.50583016) × cos(0.50511333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 534.512372732344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50573429-0.50583016) × cos(0.50502942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875160240432561 × 6371000     		du = 534.537171646456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50511333)-sin(0.50502942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875160240432561)×R²
    abs(0.50583016-0.50573429)×4.0601523688899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0601523688899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0601523688899e-05×40589641000000     		ar = 285751.92419283m²